Cho A=x(x+1)(x-1)(x+2)
a) tìm x biết A=24
b) tìm x để A đạt GTNN
c) chứng minh A…
a) tìm x biết A=24
b) tìm x để A đạt GTNN
c) chứng minh A+1 là số chính phương
Xin chào các em học sinh thân mến!
Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em giải quyết một bài toán thú vị liên quan đến biểu thức đại số. Đây là một dạng bài thường gặp, đòi hỏi chúng ta phải có kỹ năng biến đổi và giải phương trình.
Bài toán: Cho biểu thức \(A = x(x+1)(x-1)(x+2)\)
a) Tìm x biết \(A = 24\)
b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất
c) Chứng minh \(A+1\) là số chính phương.
Chúng ta hãy cùng phân tích và giải từng phần một nhé!
Phân tích ban đầu:
Biểu thức \(A = x(x+1)(x-1)(x+2)\) có dạng tích của bốn thừa số. Để đơn giản hóa, chúng ta có thể nhóm các thừa số lại với nhau một cách hợp lý để tạo ra các cụm giống nhau.
Thầy/cô sẽ nhóm như sau:
\(A = [(x-1)(x+2)][x(x+1)]\)
Thực hiện phép nhân trong từng cụm:
\((x-1)(x+2) = x^2 + 2x – x – 2 = x^2 + x – 2\)
\(x(x+1) = x^2 + x\)
Vậy, biểu thức A có thể viết lại là: \(A = (x^2 + x – 2)(x^2 + x)\)
Để đơn giản hơn nữa, chúng ta có thể đặt ẩn phụ. Đặt \(y = x^2 + x\).
Khi đó, \(A = (y-2)y = y^2 – 2y\)
Đây là một dạng biểu thức đã được rút gọn rất nhiều, giúp chúng ta dễ dàng giải quyết các yêu cầu của bài toán.
a) Tìm x biết \(A = 24\)
Theo kết quả phân tích ở trên, ta có \(A = y^2 – 2y\). Yêu cầu bài toán là \(A = 24\).
Vậy ta có phương trình:
\(y^2 – 2y = 24\)
\(y^2 – 2y – 24 = 0\)
Đây là một phương trình bậc hai đối với ẩn \(y\). Chúng ta có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm.
Thầy/cô sẽ phân tích thành nhân tử:
Chúng ta cần tìm hai số có tích bằng \(-24\) và tổng bằng \(-2\). Đó là các số \(-6\) và \(4\).
\((y-6)(y+4) = 0\)
Từ đây, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: \(y-6 = 0 \Rightarrow y = 6\)
Nhớ lại rằng chúng ta đã đặt \(y = x^2 + x\), vậy ta có:
\(x^2 + x = 6\)
\(x^2 + x – 6 = 0\)
Lại là một phương trình bậc hai đối với ẩn \(x\). Phân tích thành nhân tử (hai số có tích bằng \(-6\) và tổng bằng \(1\) là \(3\) và \(-2\)):
\((x+3)(x-2) = 0\)
Vậy, \(x+3 = 0 \Rightarrow x = -3\)
Hoặc \(x-2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
Trường hợp 2: \(y+4 = 0 \Rightarrow y = -4\)
Tương tự, thay \(y = x^2 + x\) vào:
\(x^2 + x = -4\)
\(x^2 + x + 4 = 0\)
Chúng ta kiểm tra delta (\(\Delta\)) của phương trình bậc hai này:
\(\Delta = b^2 – 4ac = 1^2 – 4(1)(4) = 1 – 16 = -15\)
Vì \(\Delta = -15 < 0\), phương trình này vô nghiệm trong tập số thực. Do đó, trường hợp này không cho giá trị \(x\) nào.
Kết luận cho câu a):
Vậy, khi \(A = 24\), các giá trị của \(x\) là \(x = 2\) hoặc \(x = -3\).
b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất (GTNN)
Chúng ta có biểu thức \(A = y^2 – 2y\).
Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, chúng ta có thể biến đổi biểu thức này về dạng hằng đẳng thức:
\(A = y^2 – 2y + 1 – 1\)
\(A = (y-1)^2 – 1\)
Vì \((y-1)^2 \ge 0\) với mọi giá trị của \(y\), nên \((y-1)^2 – 1 \ge -1\).
Vậy, giá trị nhỏ nhất của A là \(-1\). Giá trị này đạt được khi \((y-1)^2 = 0\), tức là \(y-1 = 0 \Rightarrow y = 1\).
Bây giờ chúng ta cần tìm \(x\) sao cho \(y = 1\).
Thay \(y = x^2 + x\) vào:
\(x^2 + x = 1\)
\(x^2 + x – 1 = 0\)
Đây là một phương trình bậc hai không thể phân tích thành nhân tử dễ dàng. Chúng ta sẽ sử dụng công thức nghiệm tổng quát:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)
Với \(a=1, b=1, c=-1\):
\(x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4(1)(-1)}}{2(1)}\)
\(x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}\)
\(x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\)
Kết luận cho câu b):
Giá trị nhỏ nhất của A là \(-1\), đạt được khi \(x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\) hoặc \(x = \frac{-1 – \sqrt{5}}{2}\).
c) Chứng minh \(A+1\) là số chính phương
Từ phần b), chúng ta đã biến đổi biểu thức A:
\(A = (y-1)^2 – 1\)
Vậy, \(A + 1 = (y-1)^2 – 1 + 1\)
\(A + 1 = (y-1)^2\)
Mà chúng ta đã đặt \(y = x^2 + x\).
Thay \(y\) trở lại vào biểu thức \(A+1\):
\(A + 1 = ((x^2 + x) – 1)^2\)
\(A + 1 = (x^2 + x – 1)^2\)
Vì \(x^2 + x – 1\) là một biểu thức đại số, và \(A+1\) là bình phương của biểu thức đó, nên \(A+1\) là một số chính phương.
Kết luận cho câu c):
Ta đã chứng minh được \(A+1 = (x^2 + x – 1)^2\), do đó \(A+1\) là một số chính phương.
Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách phân tích, biến đổi và giải quyết các dạng bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!
Đáp án+Giải thích các bước giải:
\(a)A=24\)
\(x.(x+1).(x-1).(x+2)=24\)
\([x.(x+1)].[(x-1).(x+2)]=24\)
\((x^{2}+x).(x^{2}+2x-x-2)=24\)
\((x^{2}+x).(x^{2}+x-2)=24\)
\((x^{2}+x)^{2}-2.(x^{2}+x)=24\)
\((x^{2}+x)^{2}-6.(x^{2}+x)+4.(x^{2}+x)-24=0\)
\((x^{2}+x).(x^{2}+x-6)+4.(x^{2}+x-6)=0\)
\((x^{2}+x+4).(x^{2}+x-6)=0\)
Do \(x^{2}+x+4=x^{2}+2.x. 1/2+(1/2)^{2}+4-(1/2)^{2}\)
\(=(x+1/2)^{2}+15/4>0AAx\)
Nên: \(x^{2}+x-6=0\)
\(x^{2}+3x-2x-6=0\)
\(x.(x+3)-2.(x+3)=0\)
\((x-2).(x+3)=0\)
\(x-2=0\) hoặc \(x+3=0\)
\(x=2\) hoặc \(x=-3\)
Vậy \(x\in{2;-3}\) để \(A=24\)
\(b)A=x.(x+1).(x-1).(x+2)\)
\(=[x.(x+1)].[(x-1).(x+2)]\)
\(=(x^{2}+x).(x^{2}+2x-x-2)\)
\(=(x^{2}+x).(x^{2}+x-2)\)
\(=(x^{2}+x)^{2}-2.(x^{2}+x)\)
\(=(x^{2}+x)^{2}-2.(x^{2}+x).1+1^{2}-1^{2}\)
\(=(x^{2}+x-1)^{2}-1\)
Do \((x^{2}+x-1)^{2}\ge0AAx\)
\(->(x^{2}+x-1)^{2}-1\ge-1AAx\)
\(->A\ge-1\)
\(->A_{min}=-1\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
\(x^{2}+x-1=0\)
\(x^{2}+2.x. 1/2+(1/2)^{2}-1-(1/2)^{2}=0\)
\((x+1/2)^{2}=5/4\)
\((x+1/2)^{2}=(\pm (\sqrt{5})/(2))^{2}\)
\(x+1/2=(-\sqrt{5})/(2)\) hoặc \(x+1/2=(\sqrt{5})/(2)\)
\(x=(-1-\sqrt{5})/(2)\) hoặc \(x=(-1+\sqrt{5])/(2)\)
Vậy \(A_{min}=-1\) khi \(x=(-1-\sqrt{5})/(2)\) hoặc \(x=(-1+\sqrt{5})/(2)\)
\(c)A+1\)
\(=x.(x+1).(x-1).(x+2)+1\)
\(=[x.(x+1)].[(x-1).(x+2)]+1\)
\(=(x^{2}+x).(x^{2}+2x-x-2)+1\)
\(=(x^{2}+x).(x^{2}+x-2)+1\)
\(=(x^{2}+x)^{2}-2.(x^{2}+x).1+1^{2}\)
\(=(x^{2}+x-1)^{2}\)
\(->A+1\) là số chính phương
\(->\) Điều phải chứng minh
\(a)\)
\(A = x(x+1)(x-1)(x+2) = 24\)
\([x(x+1)][(x-1)(x+2)] = (x^2+x)(x^2+x-2) = 24\)
Đặt \(m = x^2+x,\) có: \(m(m-2) = 24\)
\(m^2 – 2m – 24 = 0\)
\((m-6)(m+4) = 0\)
\(=>\) \(m = 6 \) hoặc \(m = -4.\)
\(m = 6: x^2+x = 6 → x^2+x-6 = 0 → (x-2)(x+3) = 0 → x = 2\) hoặc \(x = -3.\)
\(m = -4: x^2+x = -4 → x^2+x+4 = 0\) (vô nghiệm).
Vậy \(x = 2\) hoặc \(x = -3.\)
\(b)\)
\(A = (x^2+x)(x^2+x-2) = m(m-2) = m^2 – 2m = (m-1)^2 – 1.\)
\((m-1)^2 ≥ 0 → A ≥ -1.\)
Dấu \(“=”\) xảy ra khi \(m = 1 → x^2+x-1 = 0 → x = (-1 ± √5)/2.\)
GTNN của A là \(-1\), tại \(x = (-1 ± √5)/2.\)
\(c)\)
\(A + 1 = m(m-2) + 1 = m^2 – 2m + 1 = (m-1)^2.\)
\(m = x^2+x → m-1 = x^2+x-1.\)
Vậy \(A + 1\) là số chính phương.
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment