Xin chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán quan trọng liên quan đến tính đơn điệu của hàm số, một kiến thức nền tảng trong chương trình Toán 12 của chúng ta.

Đề bài: Tìm tất cả tham số \( m \) để hàm số \( y = -x^3 – 6x^2 + (4m – 9)x + 4 \) nghịch biến trên \( \mathbb{R} \).

Trước hết, chúng ta cần nhớ lại điều kiện để một hàm số bậc ba nghịch biến trên toàn bộ tập xác định \( \mathbb{R} \).

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số.

Hàm số đã cho là: \( y = -x^3 – 6x^2 + (4m – 9)x + 4 \)

Để xét tính đơn điệu của hàm số, chúng ta cần tìm đạo hàm cấp một của nó, ký hiệu là \( y’ \):

\( y’ = (-x^3)’ – (6x^2)’ + ((4m – 9)x)’ + (4)’ \)

\( y’ = -3x^2 – 12x + (4m – 9) \)

Bước 2: Áp dụng điều kiện để hàm số nghịch biến trên \( \mathbb{R} \).

Hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên \( \mathbb{R} \) khi và chỉ khi đạo hàm của nó, \( y’ \), nhỏ hơn hoặc bằng 0 với mọi \( x \in \mathbb{R} \).

Tức là: \( -3x^2 – 12x + (4m – 9) \le 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \).

Bước 3: Giải bất phương trình bậc hai.

Chúng ta có một bất phương trình bậc hai: \( ax^2 + bx + c \le 0 \). Để bất phương trình này đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \), chúng ta cần thỏa mãn hai điều kiện:

1. Hệ số của \( x^2 \) phải âm (để parabol quay bề lõm xuống dưới).

2. Biệt thức Delta (hoặc Delta phẩy) phải nhỏ hơn hoặc bằng 0 (để parabol không cắt trục hoành hoặc chỉ tiếp xúc tại một điểm, đảm bảo toàn bộ đồ thị nằm dưới hoặc chạm trục hoành).

Áp dụng vào bất phương trình \( -3x^2 – 12x + (4m – 9) \le 0 \):

Ở đây, chúng ta có các hệ số:

\( a = -3 \)

\( b = -12 \)

\( c = 4m – 9 \)

Kiểm tra điều kiện 1:

Hệ số \( a = -3 \). Điều này thỏa mãn \( a < 0 \), tức là parabol quay bề lõm xuống dưới.

Kiểm tra điều kiện 2: Tính biệt thức \( \Delta \).

Công thức biệt thức là \( \Delta = b^2 – 4ac \).

\( \Delta = (-12)^2 – 4(-3)(4m – 9) \)

\( \Delta = 144 + 12(4m – 9) \)

\( \Delta = 144 + 48m – 108 \)

\( \Delta = 48m + 36 \)

Để bất phương trình \( -3x^2 – 12x + (4m – 9) \le 0 \) đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \), chúng ta cần \( \Delta \le 0 \).

Tức là: \( 48m + 36 \le 0 \)

Bước 4: Giải bất phương trình để tìm \( m \).

\( 48m + 36 \le 0 \)

\( 48m \le -36 \)

\( m \le \frac{-36}{48} \)

Rút gọn phân số \( \frac{-36}{48} \) bằng cách chia cả tử và mẫu cho 12:

\( m \le \frac{-3}{4} \)

Vậy, giá trị của tham số \( m \) để hàm số nghịch biến trên \( \mathbb{R} \) là \( m \le -\frac{3}{4} \).

Kết luận:

Để hàm số \( y = -x^3 – 6x^2 + (4m – 9)x + 4 \) nghịch biến trên \( \mathbb{R} \), tham số \( m \) phải thỏa mãn điều kiện \( m \le -\frac{3}{4} \).

Thầy hy vọng các em đã nắm rõ cách giải bài toán này! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!