—

Bài 1:

Cho biểu thức: \( A = \left(\frac{2x}{x – \sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x} – 1}\right) : \left(\frac{4\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} – 1}\right) \)

Lời giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của biểu thức.

• Biểu thức có chứa căn bậc hai \(\sqrt{x}\) nên \(x \ge 0\).
• Các mẫu thức phải khác 0:
  • \(x – \sqrt{x} \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x}(\sqrt{x} – 1) \neq 0\). Điều này xảy ra khi \(\sqrt{x} \neq 0\) và \(\sqrt{x} – 1 \neq 0\).
    • \(\sqrt{x} \neq 0 \Rightarrow x \neq 0\).
    • \(\sqrt{x} – 1 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 1 \Rightarrow x \neq 1\).
  • \(\sqrt{x} – 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\). (Đã xét ở trên)
  • Mẫu của biểu thức chia: \(\frac{4\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} – 1}\). Bản thân biểu thức này cũng phải khác 0, tức là \(4\sqrt{x} + 4 \neq 0\). Vì \(\sqrt{x} \ge 0\), nên \(4\sqrt{x} + 4 \ge 4 > 0\), do đó điều kiện này luôn đúng.

Kết hợp các điều kiện trên, ta có ĐKXĐ là: \(x > 0\) và \(x \neq 1\).

Bước 2: Rút gọn từng phần của biểu thức.

Ta xét phần trong dấu ngoặc thứ nhất:

\( \frac{2x}{x – \sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x} – 1} \)

Phân tích mẫu thức: \( x – \sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} – 1) \).

Quy đồng mẫu thức:
\( = \frac{2x}{\sqrt{x}(\sqrt{x} – 1)} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} – 1)} \)
\( = \frac{2x + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} – 1)} \)

Phân tích tử thức: \( 2x + 2\sqrt{x} = 2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1) \).
\( = \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} – 1)} \)

Rút gọn \(\sqrt{x}\) (vì \(x > 0\) nên \(\sqrt{x} \neq 0\)):
\( = \frac{2(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} – 1} \)

Xét phần trong dấu ngoặc thứ hai (là số chia):

\( \frac{4\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} – 1} = \frac{4(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} – 1} \)

Bước 3: Thực hiện phép chia.

\( A = \frac{2(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} – 1} : \frac{4(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} – 1} \)

Để chia hai phân thức, ta nhân phân thức thứ nhất với nghịch đảo của phân thức thứ hai:
\( A = \frac{2(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} – 1} \times \frac{\sqrt{x} – 1}{4(\sqrt{x} + 1)} \)

Rút gọn các thừa số chung \(( \sqrt{x} + 1 )\) và \(( \sqrt{x} – 1 )\) (vì theo ĐKXĐ, chúng khác 0):
\( A = \frac{2}{4} \)
\( A = \frac{1}{2} \)

Kết luận: Với \(x > 0\) và \(x \neq 1\), biểu thức \( A = \frac{1}{2} \).

—

Bài 2:

Cho biểu thức: \( A = \left(\frac{1}{\sqrt{x} – 1} + \frac{\sqrt{x}}{x – 1}\right) : \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \)

Lời giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của biểu thức.

• Biểu thức có chứa căn bậc hai \(\sqrt{x}\) nên \(x \ge 0\).
• Các mẫu thức phải khác 0:
  • \(\sqrt{x} – 1 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 1 \Rightarrow x \neq 1\).
  • \(x – 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\). (Đã xét ở trên)
  • Mẫu của biểu thức chia: \(\sqrt{x} + 2 \neq 0\). Vì \(\sqrt{x} \ge 0\), nên \(\sqrt{x} + 2 \ge 2 > 0\), điều kiện này luôn đúng.

Kết hợp các điều kiện trên, ta có ĐKXĐ là: \(x \ge 0\) và \(x \neq 1\).

Bước 2: Rút gọn từng phần của biểu thức.

Ta xét phần trong dấu ngoặc thứ nhất:

\( \frac{1}{\sqrt{x} – 1} + \frac{\sqrt{x}}{x – 1} \)

Phân tích mẫu thức: \( x – 1 = (\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1) \).

Mẫu thức chung là \( (\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1) \).

Quy đồng mẫu thức:
\( = \frac{1 \cdot (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)} + \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)} \)
\( = \frac{\sqrt{x} + 1 + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)} \)
\( = \frac{2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)} \)

Bước 3: Thực hiện phép chia.

\( A = \frac{2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)} : \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \)

Để chia hai phân thức, ta nhân phân thức thứ nhất với nghịch đảo của phân thức thứ hai:
\( A = \frac{2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)} \times (\sqrt{x} + 2) \)
\( A = \frac{(2\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)} \)

Chúng ta có thể nhân tử và mẫu để biểu thức trông gọn hơn, hoặc giữ nguyên tùy theo yêu cầu cụ thể.

Nhân tử thức: \( (2\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2) = 2\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + 2\sqrt{x} \cdot 2 + 1 \cdot \sqrt{x} + 1 \cdot 2 = 2x + 4\sqrt{x} + \sqrt{x} + 2 = 2x + 5\sqrt{x} + 2 \).

Mẫu thức: \( (\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1) = x – 1 \).

Vậy:
\( A = \frac{2x + 5\sqrt{x} + 2}{x – 1} \)

Kết luận: Với \(x \ge 0\) và \(x \neq 1\), biểu thức \( A = \frac{2x + 5\sqrt{x} + 2}{x – 1} \).

—

Bài 3:

Cho biểu thức: \( A = \frac{5 – 5\sqrt{x}}{x – 16} – \frac{2}{4 – \sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt{x} + 4} \)

Lời giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của biểu thức.

• Biểu thức có chứa căn bậc hai \(\sqrt{x}\) nên \(x \ge 0\).
• Các mẫu thức phải khác 0:
  • \(x – 16 \neq 0 \Rightarrow x \neq 16\).
  • \(4 – \sqrt{x} \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 4 \Rightarrow x \neq 16\). (Đã xét ở trên)
  • \(\sqrt{x} + 4 \neq 0\). Vì \(\sqrt{x} \ge 0\), nên \(\sqrt{x} + 4 \ge 4 > 0\), điều kiện này luôn đúng.

Kết hợp các điều kiện trên, ta có ĐKXĐ là: \(x \ge 0\) và \(x \neq 16\).

Bước 2: Phân tích các mẫu thức và tử thức (nếu có thể) để tìm mẫu chung.

Phân tích mẫu thức: \( x – 16 = (\sqrt{x} – 4)(\sqrt{x} + 4) \).

Chú ý rằng: \( 4 – \sqrt{x} = -(\sqrt{x} – 4) \).

Viết lại biểu thức A:
\( A = \frac{5 – 5\sqrt{x}}{(\sqrt{x} – 4)(\sqrt{x} + 4)} – \frac{2}{-(\sqrt{x} – 4)} + \frac{3}{\sqrt{x} + 4} \)
\( A = \frac{5(1 – \sqrt{x})}{(\sqrt{x} – 4)(\sqrt{x} + 4)} + \frac{2}{\sqrt{x} – 4} + \frac{3}{\sqrt{x} + 4} \)

Bước 3: Quy đồng mẫu thức và cộng trừ các phân thức.

Mẫu thức chung là \( (\sqrt{x} – 4)(\sqrt{x} + 4) \).
\( A = \frac{5(1 – \sqrt{x})}{(\sqrt{x} – 4)(\sqrt{x} + 4)} + \frac{2(\sqrt{x} + 4)}{(\sqrt{x} – 4)(\sqrt{x} + 4)} + \frac{3(\sqrt{x} – 4)}{(\sqrt{x} – 4)(\sqrt{x} + 4)} \)
\( A = \frac{5(1 – \sqrt{x}) + 2(\sqrt{x} + 4) + 3(\sqrt{x} – 4)}{(\sqrt{x} – 4)(\sqrt{x} + 4)} \)

Thực hiện phép tính ở tử thức:
\( \text{Tử} = 5 – 5\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 8 + 3\sqrt{x} – 12 \)

Gom các hạng tử chứa \(\sqrt{x}\):
\( -5\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} = 0\sqrt{x} = 0 \)

Gom các hằng số:
\( 5 + 8 – 12 = 1 \)

Vậy tử thức là \( 1 \).

Bước 4: Viết biểu thức đã rút gọn.

\( A = \frac{1}{(\sqrt{x} – 4)(\sqrt{x} + 4)} \)
\( A = \frac{1}{x – 16} \)

Kết luận: Với \(x \ge 0\) và \(x \neq 16\), biểu thức \( A = \frac{1}{x – 16} \).

—

Bài 4:

Cho biểu thức: \( A = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1} + \frac{5}{\sqrt{x} – 1} + \frac{4}{x – 1} \)

Lời giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của biểu thức.

• Biểu thức có chứa căn bậc hai \(\sqrt{x}\) nên \(x \ge 0\).
• Các mẫu thức phải khác 0:
  • \(\sqrt{x} + 1 \neq 0\). Vì \(\sqrt{x} \ge 0\), nên \(\sqrt{x} + 1 \ge 1 > 0\), điều kiện này luôn đúng.
  • \(\sqrt{x} – 1 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 1 \Rightarrow x \neq 1\).
  • \(x – 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\). (Đã xét ở trên)

Kết hợp các điều kiện trên, ta có ĐKXĐ là: \(x \ge 0\) và \(x \neq 1\).

Bước 2: Phân tích các mẫu thức để tìm mẫu chung.

Phân tích mẫu thức: \( x – 1 = (\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1) \).

Mẫu thức chung là \( (\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1) \).

Bước 3: Quy đồng mẫu thức và cộng các phân thức.

\( A = \frac{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} – 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} – 1)} + \frac{5(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)} + \frac{4}{(\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)} \)
\( A = \frac{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} – 1) + 5(\sqrt{x} + 1) + 4}{(\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)} \)

Thực hiện phép tính ở tử thức:
\( \text{Tử} = (\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} – \sqrt{x} + 3\sqrt{x} – 3) + (5\sqrt{x} + 5) + 4 \)
\( \text{Tử} = (x + 2\sqrt{x} – 3) + (5\sqrt{x} + 5) + 4 \)
\( \text{Tử} = x + 2\sqrt{x} + 5\sqrt{x} – 3 + 5 + 4 \)
\( \text{Tử} = x + 7\sqrt{x} + 6 \)

Bước 4: Phân tích tử thức (nếu có thể) để rút gọn với mẫu thức.

Tử thức \( x + 7\sqrt{x} + 6 \) có dạng tam thức bậc hai với biến là \(\sqrt{x}\).

Ta có thể phân tích thành nhân tử:
\( x + 7\sqrt{x} + 6 = (\sqrt{x})^2 + 7\sqrt{x} + 6 \)

Coi \(y = \sqrt{x}\), ta có \(y^2 + 7y + 6\). Ta tìm hai số có tổng là 7 và tích là 6 (đó là 1 và 6).
\( y^2 + 7y + 6 = (y + 1)(y + 6) \)

Thay \(y = \sqrt{x}\) trở lại:
\( x + 7\sqrt{x} + 6 = (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 6) \)

Bước 5: Viết biểu thức đã rút gọn.

\( A = \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 6)}{(\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)} \)

Rút gọn \(( \sqrt{x} + 1 )\) (vì theo ĐKXĐ, \(\sqrt{x} + 1 \neq 0\)):
\( A = \frac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} – 1} \)

Kết luận: Với \(x \ge 0\) và \(x \neq 1\), biểu thức \( A = \frac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} – 1} \).

—

Bài 5:

Cho biểu thức: \( A = \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x} – 3} + \frac{\sqrt{x} – 2}{2\sqrt{x} + 3} + \frac{15 – 4\sqrt{x}}{9 – 4x} \)

Lời giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của biểu thức.

• Biểu thức có chứa căn bậc hai \(\sqrt{x}\) nên \(x \ge 0\).
• Các mẫu thức phải khác 0:
  • \(2\sqrt{x} – 3 \neq 0 \Rightarrow 2\sqrt{x} \neq 3 \Rightarrow \sqrt{x} \neq \frac{3}{2} \Rightarrow x \neq \frac{9}{4}\).
  • \(2\sqrt{x} + 3 \neq 0\). Vì \(\sqrt{x} \ge 0\), nên \(2\sqrt{x} + 3 \ge 3 > 0\), điều kiện này luôn đúng.
  • \(9 – 4x \neq 0 \Rightarrow 4x \neq 9 \Rightarrow x \neq \frac{9}{4}\). (Đã xét ở trên)

Kết hợp các điều kiện trên, ta có ĐKXĐ là: \(x \ge 0\) và \(x \neq \frac{9}{4}\).

Bước 2: Phân tích các mẫu thức để tìm mẫu chung.

Phân tích mẫu thức: \( 9 – 4x = 3^2 – (2\sqrt{x})^2 = (3 – 2\sqrt{x})(3 + 2\sqrt{x}) \).

Để thuận tiện cho việc quy đồng, ta đổi dấu \((3 – 2\sqrt{x})\) thành \(-(2\sqrt{x} – 3)\).

Vậy: \( 9 – 4x = -(2\sqrt{x} – 3)(2\sqrt{x} + 3) \).

Mẫu thức chung là \( (2\sqrt{x} – 3)(2\sqrt{x} + 3) \).

Viết lại phân thức thứ ba:
\( \frac{15 – 4\sqrt{x}}{9 – 4x} = \frac{15 – 4\sqrt{x}}{-(2\sqrt{x} – 3)(2\sqrt{x} + 3)} = \frac{-(15 – 4\sqrt{x})}{(2\sqrt{x} – 3)(2\sqrt{x} + 3)} = \frac{4\sqrt{x} – 15}{(2\sqrt{x} – 3)(2\sqrt{x} + 3)} \)

Bước 3: Quy đồng mẫu thức và cộng các phân thức.

\( A = \frac{\sqrt{x}(2\sqrt{x} + 3)}{(2\sqrt{x} – 3)(2\sqrt{x} + 3)} + \frac{(\sqrt{x} – 2)(2\sqrt{x} – 3)}{(2\sqrt{x} – 3)(2\sqrt{x} + 3)} + \frac{4\sqrt{x} – 15}{(2\sqrt{x} – 3)(2\sqrt{x} + 3)} \)
\( A = \frac{\sqrt{x}(2\sqrt{x} + 3) + (\sqrt{x} – 2)(2\sqrt{x} – 3) + (4\sqrt{x} – 15)}{(2\sqrt{x} – 3)(2\sqrt{x} + 3)} \)

Thực hiện phép tính ở tử thức:
\( \text{Tử} = (2x + 3\sqrt{x}) + (2x – 3\sqrt{x} – 4\sqrt{x} + 6) + (4\sqrt{x} – 15) \)
\( \text{Tử} = 2x + 3\sqrt{x} + 2x – 7\sqrt{x} + 6 + 4\sqrt{x} – 15 \)

Gom các hạng tử chứa \(x\):
\( 2x + 2x = 4x \)

Gom các hạng tử chứa \(\sqrt{x}\):
\( 3\sqrt{x} – 7\sqrt{x} + 4\sqrt{x} = 0\sqrt{x} = 0 \)

Gom các hằng số:
\( 6 – 15 = -9 \)

Vậy tử thức là \( 4x – 9 \).

Bước 4: Phân tích tử thức (nếu có thể) để rút gọn với mẫu thức.

Tử thức \( 4x – 9 \) có thể phân tích thành:
\( 4x – 9 = (2\sqrt{x})^2 – 3^2 = (2\sqrt{x} – 3)(2\sqrt{x} + 3) \)

Bước 5: Viết biểu thức đã rút gọn.

\( A = \frac{(2\sqrt{x} – 3)(2\sqrt{x} + 3)}{(2\sqrt{x} – 3)(2\sqrt{x} + 3)} \)

Rút gọn cả tử và mẫu (vì theo ĐKXĐ, chúng khác 0):
\( A = 1 \)

Kết luận: Với \(x \ge 0\) và \(x \neq \frac{9}{4}\), biểu thức \( A = 1 \).

—

Em hãy xem xét thật kỹ từng bước giải, nếu có chỗ nào chưa hiểu rõ thì hỏi lại cô nhé. Chúc em học tốt!