Đề bài: Ba số \(x\), \(y\), \(z\) tỉ lệ với \(2\) : \(3\) : \(5\). Biết \(x^2 + y^2 + z^2 = 152\). Tìm \(x\), \(y\), \(z\).

Lời giải:

Đầu tiên, chúng ta cần hiểu ý nghĩa của việc ba số \(x\), \(y\), \(z\) tỉ lệ với \(2\) : \(3\) : \(5\). Điều này có nghĩa là chúng ta có thể biểu diễn các số này dưới dạng một bội số chung.

Giả sử rằng có một số \(k\) sao cho:

\(x = 2k\)

\(y = 3k\)

\(z = 5k\)

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng thông tin thứ hai của đề bài, đó là \(x^2 + y^2 + z^2 = 152\). Chúng ta sẽ thay thế \(x\), \(y\), \(z\) bằng biểu thức theo \(k\) mà chúng ta vừa tìm được.

Ta có:

\((2k)^2 + (3k)^2 + (5k)^2 = 152\)

Tiếp theo, chúng ta sẽ khai triển các bình phương này:

\(4k^2 + 9k^2 + 25k^2 = 152\)

Bây giờ, chúng ta sẽ cộng các hạng tử chứa \(k^2\) lại với nhau:

\((4 + 9 + 25)k^2 = 152\)

\(38k^2 = 152\)

Để tìm \(k^2\), chúng ta chia cả hai vế của phương trình cho \(38\):

\(k^2 = \frac{152}{38}\)

\(k^2 = 4\)

Từ \(k^2 = 4\), chúng ta có hai trường hợp cho \(k\):

Trường hợp 1: \(k = 2\)

Trường hợp 2: \(k = -2\)

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt tìm \(x\), \(y\), \(z\) cho từng trường hợp.

Trường hợp 1: \(k = 2\)

\(x = 2k = 2 \times 2 = 4\)

\(y = 3k = 3 \times 2 = 6\)

\(z = 5k = 5 \times 2 = 10\)

Chúng ta cùng kiểm tra lại xem bộ ba số này có thỏa mãn \(x^2 + y^2 + z^2 = 152\) không nhé:

\(4^2 + 6^2 + 10^2 = 16 + 36 + 100 = 152\). Đúng rồi!

Trường hợp 2: \(k = -2\)

\(x = 2k = 2 \times (-2) = -4\)

\(y = 3k = 3 \times (-2) = -6\)

\(z = 5k = 5 \times (-2) = -10\)

Chúng ta cùng kiểm tra lại xem bộ ba số này có thỏa mãn \(x^2 + y^2 + z^2 = 152\) không nhé:

\((-4)^2 + (-6)^2 + (-10)^2 = 16 + 36 + 100 = 152\). Cũng đúng!

Kết luận:

Vậy có hai bộ ba số \((x, y, z)\) thỏa mãn đề bài là:

\((4, 6, 10)\)

và

\((-4, -6, -10)\)

Các em thấy bài toán này thế nào? Chúng ta đã sử dụng kiến thức về tỉ lệ thức để biểu diễn các số, sau đó thay vào phương trình chứa bình phương và giải phương trình để tìm ra giá trị của số tỉ lệ \(k\). Cuối cùng, chúng ta tìm được các giá trị tương ứng của \(x\), \(y\), \(z\).

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, các em cứ mạnh dạn hỏi nhé!