Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thực tế rất hay về hình chữ nhật nhé. Đây là dạng bài thường gặp trong các kì thi, vì vậy các em hãy chú ý theo dõi thật kĩ các bước trình bày và phương pháp giải nhé!

Đề bài: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 400m. Nếu tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng 6m thì diện tích giảm 276m vuông. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó.

Bài giải:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

Gọi chiều dài ban đầu của mảnh đất hình chữ nhật là \(l\) (mét).

Gọi chiều rộng ban đầu của mảnh đất hình chữ nhật là \(w\) (mét).

Điều kiện: Chiều dài và chiều rộng phải là các số dương. Hơn nữa, chiều dài thường lớn hơn chiều rộng. Do đó, ta có: \(l > 0\), \(w > 0\) và \(l > w\).

Bước 2: Lập hệ phương trình dựa trên các dữ kiện của bài toán

Dựa vào đề bài, chúng ta có hai thông tin quan trọng để lập thành hai phương trình:

Dữ kiện 1: Chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là 400m.

Công thức tính chu vi hình chữ nhật là \(P = 2(l + w)\).

Theo đề bài, \(2(l + w) = 400\).

Chia cả hai vế cho 2, ta được phương trình thứ nhất:

\(l + w = 200\) (1)

Dữ kiện 2: Nếu tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng 6m thì diện tích giảm 276m vuông.

Diện tích ban đầu của mảnh đất là: \(A_{ban đầu} = l \times w\).

Khi tăng chiều dài thêm 6m, chiều dài mới là: \(l’ = l + 6\) (m).

Khi giảm chiều rộng 6m, chiều rộng mới là: \(w’ = w – 6\) (m).

Lưu ý: Vì chiều rộng giảm 6m nên \(w – 6 > 0\), tức là \(w > 6\).

Diện tích mới của mảnh đất là: \(A_{mới} = (l + 6)(w – 6)\).

Theo đề bài, diện tích mới giảm 276m vuông so với diện tích ban đầu, tức là:

\(A_{mới} = A_{ban đầu} – 276\)

Thay các biểu thức đã có vào, ta được phương trình thứ hai:

\((l + 6)(w – 6) = lw – 276\) (2)

Vậy, chúng ta có hệ phương trình sau:

\(\begin{cases} l + w = 200 \quad (1) \\ (l + 6)(w – 6) = lw – 276 \quad (2) \end{cases}\)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \(l\) theo \(w\) (hoặc ngược lại):

\(l = 200 – w\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay biểu thức của \(l\) này vào phương trình (2):

\(( (200 – w) + 6 )(w – 6) = (200 – w)w – 276\)

Rút gọn vế trái:

\((206 – w)(w – 6) = 200w – w^2 – 276\)

Thực hiện phép nhân ở vế trái:

\(206w – 206 \times 6 – w^2 + 6w = 200w – w^2 – 276\)

\(206w – 1236 – w^2 + 6w = 200w – w^2 – 276\)

Sắp xếp lại các hạng tử:

\(-w^2 + (206w + 6w) – 1236 = -w^2 + 200w – 276\)

\(-w^2 + 212w – 1236 = -w^2 + 200w – 276\)

Chúng ta thấy hạng tử \(-w^2\) có ở cả hai vế, nên ta có thể triệt tiêu chúng đi:

\(212w – 1236 = 200w – 276\)

Chuyển các hạng tử chứa \(w\) về một vế và các hằng số về vế còn lại:

\(212w – 200w = 1236 – 276\)

\(12w = 960\)

Giải tìm \(w\):

\(w = \frac{960}{12}\)

\(w = 80\)

Kiểm tra điều kiện: \(w = 80\) thỏa mãn \(w > 0\) và \(w > 6\).

Bây giờ, thay giá trị của \(w = 80\) vào phương trình (1) để tìm \(l\):

\(l + 80 = 200\)

\(l = 200 – 80\)

\(l = 120\)

Kiểm tra điều kiện: \(l = 120\) thỏa mãn \(l > 0\) và \(l > w\) (vì \(120 > 80\)).

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả và kết luận

Chiều dài ban đầu là 120m, chiều rộng ban đầu là 80m.

• Chu vi: \(2(120 + 80) = 2(200) = 400\)m (Đúng với đề bài).
• Diện tích ban đầu: \(120 \times 80 = 9600\) m².
• Chiều dài mới: \(120 + 6 = 126\)m.
• Chiều rộng mới: \(80 – 6 = 74\)m.
• Diện tích mới: \(126 \times 74 = 9324\) m².
• So sánh diện tích: \(9600 – 9324 = 276\) m² (Đúng với đề bài là diện tích giảm 276m²).

Tất cả các điều kiện đều thỏa mãn và kết quả khớp với đề bài.

Vậy, chiều dài của mảnh đất là 120m và chiều rộng của mảnh đất là 80m.

Các em nhớ ôn lại dạng bài này nhé, chúc các em học tốt!