Xin chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một số bài toán thú vị liên quan đến đa thức. Thầy sẽ hướng dẫn chi tiết từng bước để các em có thể hiểu rõ và tự tin giải quyết các dạng bài tập tương tự.

Bài 1: Giải phương trình

Chúng ta có phương trình: \( (x^2-1)^3 – (x^4+x^2+1)(x^2-1) = 0 \)

Bước 1: Nhận dạng và đặt nhân tử chung

Quan sát phương trình, ta thấy có nhân tử chung là \( (x^2-1) \). Chúng ta sẽ đặt nhân tử chung này ra ngoài.

Phương trình trở thành: \( (x^2-1) [ (x^2-1)^2 – (x^4+x^2+1) ] = 0 \)

Bước 2: Khai triển và rút gọn biểu thức trong ngoặc vuông

Ta khai triển \( (x^2-1)^2 \): \( (x^2)^2 – 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 – 2x^2 + 1 \)

Bây giờ, ta thay vào biểu thức trong ngoặc vuông:

\( (x^4 – 2x^2 + 1) – (x^4+x^2+1) \)

\( x^4 – 2x^2 + 1 – x^4 – x^2 – 1 \)

Rút gọn các hạng tử đồng dạng:

\( (x^4 – x^4) + (-2x^2 – x^2) + (1 – 1) = -3x^2 \)

Bước 3: Giải phương trình sau khi đã rút gọn

Phương trình ban đầu giờ đây có dạng đơn giản hơn:

\( (x^2-1) (-3x^2) = 0 \)

Để tích của hai thừa số bằng 0, thì ít nhất một trong hai thừa số phải bằng 0.

Trường hợp 1: \( x^2-1 = 0 \)

\( x^2 = 1 \)

\( x = 1 \) hoặc \( x = -1 \)

Trường hợp 2: \( -3x^2 = 0 \)

\( x^2 = 0 \)

\( x = 0 \)

Kết luận: Nghiệm của phương trình là \( x = 1, x = -1, x = 0 \).

Bài 4: Tính giá trị biểu thức

A) Tính giá trị biểu thức \( (x-1)^2 – 4x(x+1)(x-1) + 3(x-1)(x^2+x+1) \) với \( x = -2 \)

Bước 1: Rút gọn biểu thức

Ta nhận thấy nhân tử chung \( (x-1) \) xuất hiện ở cả ba hạng tử.

Biểu thức có thể viết lại như sau:

\( (x-1) [ (x-1) – 4x(x+1) + 3(x^2+x+1) ] \)

Bây giờ, ta khai triển và rút gọn biểu thức trong ngoặc vuông:

\( (x-1) – (4x^2 + 4x) + (3x^2 + 3x + 3) \)

\( x – 1 – 4x^2 – 4x + 3x^2 + 3x + 3 \)

Gom các hạng tử đồng dạng:

\( (-4x^2 + 3x^2) + (x – 4x + 3x) + (-1 + 3) \)

\( -x^2 + 0x + 2 = -x^2 + 2 \)

Vậy, biểu thức ban đầu được rút gọn thành: \( (x-1)(-x^2+2) \)

Bước 2: Thay giá trị \( x = -2 \) vào biểu thức đã rút gọn

\( (-2-1) (-(-2)^2 + 2) \)

\( (-3) (-(4) + 2) \)

\( (-3) (-4 + 2) \)

\( (-3) (-2) = 6 \)

Kết luận: Với \( x = -2 \), giá trị của biểu thức là 6.

B) Tính giá trị biểu thức \( (x-1)(x-2)(1+x+x^2)(4+2x+x^2) \) với \( x = 1 \)

Bước 1: Nhận dạng và sử dụng hằng đẳng thức (nếu có)

Ta thấy \( (x-1)(1+x+x^2) \) là hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: \( (x-1)(x^2+x+1) = x^3 – 1^3 = x^3 – 1 \)

Biểu thức trở thành: \( (x^3-1)(x-2)(4+2x+x^2) \)

Bước 2: Thay giá trị \( x = 1 \) vào biểu thức

Cách nhanh nhất là thay trực tiếp \( x=1 \) vào biểu thức ban đầu. Khi thấy có một thừa số bằng 0, cả biểu thức sẽ bằng 0.

Xét thừa số \( (x-1) \). Khi \( x=1 \), thừa số này bằng \( 1-1 = 0 \).

Do đó, cả biểu thức sẽ bằng \( 0 \cdot (1-2) \cdot (4+2\cdot1+1^2) = 0 \cdot (-1) \cdot (7) = 0 \).

Kết luận: Với \( x = 1 \), giá trị của biểu thức là 0.

Bài 5: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến

Để chứng minh giá trị của một biểu thức không phụ thuộc vào biến, chúng ta cần rút gọn biểu thức đó và thấy rằng kết quả cuối cùng là một hằng số (không chứa biến).

A) Chứng minh giá trị biểu thức \( y(x^2-y^2)(x^2+y^2) – y(x^4-y^4) \) không phụ thuộc vào giá trị của biến

Bước 1: Rút gọn biểu thức

Ta nhận thấy \( (x^2-y^2)(x^2+y^2) \) là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \( (x^2)^2 – (y^2)^2 = x^4 – y^4 \)

Thay vào biểu thức ban đầu:

\( y(x^4 – y^4) – y(x^4 – y^4) \)

Bước 2: Rút gọn lần cuối

\( yx^4 – y^5 – yx^4 + y^5 = 0 \)

Kết luận: Giá trị của biểu thức là 0, là một hằng số. Do đó, nó không phụ thuộc vào giá trị của biến \( x \) và \( y \).

B) Chứng minh giá trị biểu thức \( (\frac{1}{3}+2x)(4x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}) – (\frac{8x^3}{27}-\frac{1}{27}) \) không phụ thuộc vào giá trị của biến

Bước 1: Nhận dạng hằng đẳng thức

Ta thấy phần đầu của biểu thức có dạng \( (a+b)(a^2-ab+b^2) \), đây là hằng đẳng thức tổng hai lập phương: \( a^3 + b^3 \).

Ở đây, \( a = 2x \) và \( b = \frac{1}{3} \).

Kiểm tra:

\( a^2 = (2x)^2 = 4x^2 \)

\( ab = (2x)(\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}x \)

\( b^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} \)

Vậy, \( (\frac{1}{3}+2x)(4x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}) = (2x)^3 + (\frac{1}{3})^3 = 8x^3 + \frac{1}{27} \)

Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu và rút gọn

Biểu thức trở thành:

\( (8x^3 + \frac{1}{27}) – (\frac{8x^3}{27}-\frac{1}{27}) \)

Lưu ý: Ở đề bài gốc có thể có lỗi đánh máy. Nếu biểu thức thứ hai là \( (\frac{8x^3}{27}-\frac{1}{27}) \) thì kết quả sẽ không triệt tiêu hết. Thầy sẽ giả định biểu thức thứ hai là \( \frac{8x^3}{27} – \frac{1}{27} \) để giá trị không phụ thuộc vào biến.

Tuy nhiên, nếu đề bài đúng là \( (\frac{8x^3}{27}-\frac{1}{27}) \), thì chúng ta sẽ có:

\( (8x^3 + \frac{1}{27}) – (\frac{8x^3}{27}-\frac{1}{27}) = 8x^3 + \frac{1}{27} – \frac{8x^3}{27} + \frac{1}{27} \)

\( = (8 – \frac{8}{27})x^3 + (\frac{1}{27} + \frac{1}{27}) = \frac{216-8}{27}x^3 + \frac{2}{27} = \frac{208}{27}x^3 + \frac{2}{27} \)

*Biểu thức này VẪN PHỤ THUỘC vào biến \( x \).

*Để kết quả KHÔNG phụ thuộc vào biến, có lẽ phần thứ hai của biểu thức nên là \( \frac{8x^3}{1} – \frac{1}{27} \), hoặc \( \frac{8x^3}{27} + \frac{1}{27} \).

Ta sẽ giả định phần thứ hai là \( \frac{8x^3}{1} – \frac{1}{27} \) để minh họa cho việc giá trị không phụ thuộc vào biến.

Nếu phần thứ hai là \( (\frac{8x^3}{1}-\frac{1}{27}) \):

\( (8x^3 + \frac{1}{27}) – (8x^3 – \frac{1}{27}) \)

\( 8x^3 + \frac{1}{27} – 8x^3 + \frac{1}{27} \)

\( (8x^3 – 8x^3) + (\frac{1}{27} + \frac{1}{27}) = 0 + \frac{2}{27} = \frac{2}{27} \)

Kết luận: Với giả định phần thứ hai của biểu thức là \( (\frac{8x^3}{1}-\frac{1}{27}) \), giá trị của biểu thức là \( \frac{2}{27} \), là một hằng số. Do đó, nó không phụ thuộc vào giá trị của biến \( x \).

Các em thấy không, chỉ cần nắm vững các hằng đẳng thức và phương pháp rút gọn, chúng ta có thể giải quyết các bài toán này một cách dễ dàng. Hãy ôn tập kỹ và đừng ngại đặt câu hỏi nếu có bất kỳ điều gì chưa rõ nhé!