Đề bài: Tìm tập hợp các đỉnh C của tam giác ABC có cạnh AB cố định, đường trung tuyến AM có độ dài không đổi bằng m.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng yếu tố một và tìm mối liên hệ giữa chúng.

Bước 1: Phân tích các yếu tố cố định và yếu tố thay đổi.

Chúng ta có:

• Cạnh AB cố định: Điều này có nghĩa là hai điểm A và B là hai điểm đã cho trước và không thay đổi vị trí.
• Đường trung tuyến AM: M là trung điểm của cạnh BC.
• Độ dài AM không đổi và bằng m: \(AM = m\) (m là một hằng số dương).
• Đỉnh C là điểm cần tìm tập hợp.

Bước 2: Tìm tập hợp điểm M.

Vì điểm A cố định và độ dài \(AM = m\) không đổi, nên điểm M sẽ nằm trên một đường tròn cố định.

Cụ thể: Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A, bán kính \(m\).

Ký hiệu đường tròn này là \((A, m)\).

Bước 3: Tìm mối liên hệ giữa C và M.

Chúng ta biết rằng M là trung điểm của BC. Điều này có nghĩa là \(\vec{BM} = \vec{MC}\) hoặc \(\vec{AM} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{2}\).

Từ công thức vector của đường trung tuyến, ta có:

\(2\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{AC}\)

Suy ra: \( \vec{AC} = 2\vec{AM} – \vec{AB} \)     (1)

Để dễ hình dung hơn, chúng ta hãy dựng một điểm phụ D.

Gọi D là điểm sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng BD. Điều này có nghĩa là \(\vec{AD} = -\vec{AB}\) hay \(\vec{DB} = 2\vec{DA}\). D cũng là điểm đối xứng với B qua A.

Vì A và B cố định, nên điểm D cũng là một điểm cố định.

Thay \(\vec{AB} = -\vec{AD}\) vào phương trình (1), ta được:

\( \vec{AC} = 2\vec{AM} – (-\vec{AD}) \)

\( \vec{AC} = 2\vec{AM} + \vec{AD} \)

Bây giờ, chúng ta muốn tìm mối quan hệ giữa \(\vec{DC}\) và \(\vec{AM}\). Ta có:

\( \vec{DC} = \vec{AC} – \vec{AD} \)

Thế \(\vec{AC}\) từ phương trình trên vào:

\( \vec{DC} = (2\vec{AM} + \vec{AD}) – \vec{AD} \)

\( \vec{DC} = 2\vec{AM} \)

Từ mối quan hệ vector \( \vec{DC} = 2\vec{AM} \), chúng ta suy ra độ dài của đoạn thẳng DC:

\( |\vec{DC}| = |2\vec{AM}| \)

\( DC = 2 \cdot AM \)

Vì \(AM = m\) (đã cho), nên:

\( DC = 2m \)

Bước 4: Kết luận tập hợp điểm C.

Chúng ta đã xác định được rằng điểm D là cố định (vì A và B cố định, D là điểm đối xứng của B qua A).
Và độ dài \(DC = 2m\) là một hằng số (vì m là hằng số).

Vậy, tập hợp các điểm C thỏa mãn điều kiện này là một đường tròn có tâm là D và bán kính là \(2m\).

Kết luận cuối cùng:

Tập hợp các đỉnh C của tam giác ABC là một đường tròn tâm D, bán kính \(2m\), trong đó D là điểm đối xứng của B qua A (hay A là trung điểm của đoạn BD).

Chúc các em học tốt!