Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau “giải trí” với một bài toán tìm hàm số khá thú vị nhé. Bài toán này sẽ giúp các em củng cố kỹ năng về hàm số, biến đổi đại số và cả việc xét điều kiện xác định nữa.

Đề bài: Cho hàm số \(f(x) = \frac{x + 1}{x – 1}\) và \(g(x) = \frac{2x}{x + 2}\).
Tìm hàm số \(h(x)\) sao cho \(f(h(x)) = g(x)\).

Lời giải chi tiết:

Để tìm hàm số \(h(x)\) thỏa mãn điều kiện \(f(h(x)) = g(x)\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các điều kiện ban đầu.

Trước hết, chúng ta cần chú ý đến điều kiện xác định của các hàm số đã cho:

• Hàm số \(f(x) = \frac{x + 1}{x – 1}\) xác định khi mẫu số \(x – 1 \neq 0\), tức là \(x \neq 1\).
• Hàm số \(g(x) = \frac{2x}{x + 2}\) xác định khi mẫu số \(x + 2 \neq 0\), tức là \(x \neq -2\).

Khi chúng ta tìm hàm \(h(x)\), thì \(h(x)\) sẽ đóng vai trò là “đầu vào” cho hàm \(f\). Do đó, điều kiện \(h(x) \neq 1\) cũng phải được thỏa mãn.

Bước 2: Thay thế \(h(x)\) vào hàm \(f(x)\).

Chúng ta có hàm số \(f(x) = \frac{x + 1}{x – 1}\).
Nếu thay \(x\) bằng \(h(x)\), ta sẽ được:

\(f(h(x)) = \frac{h(x) + 1}{h(x) – 1}\)

Bước 3: Thiết lập phương trình \(f(h(x)) = g(x)\).

Theo đề bài, chúng ta cần tìm \(h(x)\) sao cho \(f(h(x)) = g(x)\). Vậy ta có phương trình:

\(\frac{h(x) + 1}{h(x) – 1} = \frac{2x}{x + 2}\)

Bước 4: Giải phương trình để tìm \(h(x)\).

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ thực hiện phép nhân chéo (tích chéo):

\((h(x) + 1)(x + 2) = 2x(h(x) – 1)\)

Tiếp theo, chúng ta sẽ khai triển cả hai vế của phương trình:

\(h(x) \cdot x + h(x) \cdot 2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 2 = 2x \cdot h(x) – 2x \cdot 1\)
\(xh(x) + 2h(x) + x + 2 = 2xh(x) – 2x\)

Bây giờ, chúng ta sẽ chuyển tất cả các hạng tử chứa \(h(x)\) về một vế và các hạng tử không chứa \(h(x)\) về vế còn lại. Thường thì chúng ta cố gắng để hệ số của \(h(x)\) dương để tiện tính toán:

\(x + 2 + 2x = 2xh(x) – xh(x) – 2h(x)\)

Gộp các hạng tử tương tự ở mỗi vế:

\(3x + 2 = (2x – x – 2)h(x)\)
\(3x + 2 = (x – 2)h(x)\)

Để tìm \(h(x)\), chúng ta chia cả hai vế cho \((x – 2)\). Lưu ý rằng phép chia này chỉ thực hiện được khi \(x – 2 \neq 0\), tức là \(x \neq 2\).

\(h(x) = \frac{3x + 2}{x – 2}\)

Bước 5: Kiểm tra các điều kiện xác định cho \(h(x)\).

Chúng ta đã tìm được \(h(x) = \frac{3x + 2}{x – 2}\). Bây giờ cần xem xét các điều kiện đã nêu ở Bước 1:

• Điều kiện của \(g(x)\) là \(x \neq -2\).
• Điều kiện của \(h(x)\) để nó được xác định là \(x – 2 \neq 0\), tức là \(x \neq 2\).
• Điều kiện để \(f(h(x))\) được xác định là \(h(x) \neq 1\). Chúng ta cần kiểm tra xem khi nào thì \(h(x) = 1\):
  \(\frac{3x + 2}{x – 2} = 1\)
  \(3x + 2 = x – 2\)
  \(2x = -4\)
  \(x = -2\)
  Như vậy, khi \(x = -2\) thì \(h(x) = 1\). Nhưng chúng ta đã có điều kiện \(x \neq -2\) từ \(g(x)\). Do đó, với các giá trị \(x\) được phép, thì \(h(x)\) sẽ luôn khác 1. Điều kiện này tự động được thỏa mãn nếu \(x \neq -2\).

Vậy, hàm số \(h(x)\) được tìm thấy là hợp lệ với các điều kiện \(x \neq -2\) và \(x \neq 2\).

Kết luận:

Hàm số \(h(x)\) cần tìm là:

\(h(x) = \frac{3x + 2}{x – 2}\)

Với điều kiện \(x \neq -2\) và \(x \neq 2\).

Các em thấy không, bài toán này không quá khó phải không nào? Quan trọng là chúng ta phải cẩn thận trong từng bước biến đổi đại số và luôn nhớ kiểm tra các điều kiện xác định của hàm số nhé!

Chúc các em học tốt!