\( \frac{1}{x^2 + 4x + 3} + \frac{1}{x^2 + 8x + 15} + \frac{1}{x^2 + 12x + 35} + \frac{1}{x^2 + 16x + 63} = \frac{1}{5} \)

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Trước hết, chúng ta cần đảm bảo rằng các mẫu số của các phân thức trong phương trình đều khác 0. Chúng ta sẽ phân tích các mẫu số thành nhân tử.

* Mẫu số thứ nhất: \( x^2 + 4x + 3 \)
Ta tìm hai số có tổng bằng 4 và tích bằng 3. Đó là 1 và 3.
Vậy, \( x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3) \).
Để mẫu số này khác 0, ta có \( x \neq -1 \) và \( x \neq -3 \).

* Mẫu số thứ hai: \( x^2 + 8x + 15 \)
Ta tìm hai số có tổng bằng 8 và tích bằng 15. Đó là 3 và 5.
Vậy, \( x^2 + 8x + 15 = (x+3)(x+5) \).
Để mẫu số này khác 0, ta có \( x \neq -3 \) và \( x \neq -5 \).

* Mẫu số thứ ba: \( x^2 + 12x + 35 \)
Ta tìm hai số có tổng bằng 12 và tích bằng 35. Đó là 5 và 7.
Vậy, \( x^2 + 12x + 35 = (x+5)(x+7) \).
Để mẫu số này khác 0, ta có \( x \neq -5 \) và \( x \neq -7 \).

* Mẫu số thứ tư: \( x^2 + 16x + 63 \)
Ta tìm hai số có tổng bằng 16 và tích bằng 63. Đó là 7 và 9.
Vậy, \( x^2 + 16x + 63 = (x+7)(x+9) \).
Để mẫu số này khác 0, ta có \( x \neq -7 \) và \( x \neq -9 \).

Kết hợp tất cả các điều kiện, điều kiện xác định của phương trình là \( x \notin \{-1, -3, -5, -7, -9\} \).

Bước 2: Biến đổi các phân thức về dạng hiệu hai phân thức.

Các em hãy quan sát các mẫu số sau khi đã phân tích thành nhân tử:
\( (x+1)(x+3) \), \( (x+3)(x+5) \), \( (x+5)(x+7) \), \( (x+7)(x+9) \).
Chúng ta nhận thấy sự xuất hiện của các cặp nhân tử hơn kém nhau 2 đơn vị. Điều này gợi ý chúng ta có thể áp dụng phương pháp tách phân thức dạng \( \frac{1}{A \cdot B} = \frac{1}{B-A} \left( \frac{1}{A} – \frac{1}{B} \right) \).

Xét phân thức thứ nhất: \( \frac{1}{(x+1)(x+3)} \)
Ta có \( (x+3) – (x+1) = 2 \).
Vậy, \( \frac{1}{(x+1)(x+3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x+3} \right) \).

Tương tự, ta biến đổi các phân thức còn lại:
\( \frac{1}{(x+3)(x+5)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+3} – \frac{1}{x+5} \right) \)
\( \frac{1}{(x+5)(x+7)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+5} – \frac{1}{x+7} \right) \)
\( \frac{1}{(x+7)(x+9)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+7} – \frac{1}{x+9} \right) \)

Bây giờ, thay thế các phân thức trong phương trình ban đầu bằng các biểu thức vừa biến đổi:

\( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x+3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+3} – \frac{1}{x+5} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+5} – \frac{1}{x+7} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+7} – \frac{1}{x+9} \right) = \frac{1}{5} \)

Bước 3: Rút gọn phương trình.

Chúng ta có thể đặt \( \frac{1}{2} \) ra làm nhân tử chung ở vế trái:

\( \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x+3} \right) + \left( \frac{1}{x+3} – \frac{1}{x+5} \right) + \left( \frac{1}{x+5} – \frac{1}{x+7} \right) + \left( \frac{1}{x+7} – \frac{1}{x+9} \right) \right] = \frac{1}{5} \)

Quan sát biểu thức trong dấu ngoặc vuông, chúng ta thấy các số hạng trung gian sẽ triệt tiêu lẫn nhau (đây gọi là “cộng hòa telescop”):
\( -\frac{1}{x+3} \) triệt tiêu với \( +\frac{1}{x+3} \)
\( -\frac{1}{x+5} \) triệt tiêu với \( +\frac{1}{x+5} \)
\( -\frac{1}{x+7} \) triệt tiêu với \( +\frac{1}{x+7} \)

Vậy, biểu thức trong dấu ngoặc vuông chỉ còn lại:
\( \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x+9} \)

Phương trình của chúng ta trở thành:

\( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x+9} \right) = \frac{1}{5} \)

Nhân cả hai vế với 2:

\( \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x+9} = \frac{2}{5} \)

Quy đồng mẫu số ở vế trái:

\( \frac{(x+9) – (x+1)}{(x+1)(x+9)} = \frac{2}{5} \)

Rút gọn tử số:

\( \frac{x+9-x-1}{(x+1)(x+9)} = \frac{2}{5} \)

\( \frac{8}{(x+1)(x+9)} = \frac{2}{5} \)

Nhân chéo:

\( 8 \cdot 5 = 2 \cdot (x+1)(x+9) \)

\( 40 = 2 (x^2 + 9x + x + 9) \)

\( 40 = 2 (x^2 + 10x + 9) \)

Chia cả hai vế cho 2:

\( 20 = x^2 + 10x + 9 \)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để đưa về phương trình bậc hai chuẩn tắc:

\( x^2 + 10x + 9 – 20 = 0 \)

\( x^2 + 10x – 11 = 0 \)

Bước 4: Giải phương trình bậc hai.

Chúng ta có phương trình bậc hai \( x^2 + 10x – 11 = 0 \). Chúng ta có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm.

* Phân tích thành nhân tử:
Ta tìm hai số có tổng bằng 10 và tích bằng -11. Đó là 11 và -1.
Vậy, \( x^2 + 11x – x – 11 = 0 \)
\( x(x+11) – 1(x+11) = 0 \)
\( (x-1)(x+11) = 0 \)

Từ đó, ta có hai trường hợp:
\( x-1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
\( x+11 = 0 \Rightarrow x = -11 \)

* Sử dụng công thức nghiệm Delta:
Với phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \), ta có \( \Delta = b^2 – 4ac \).
Ở đây, \( a=1, b=10, c=-11 \).
\( \Delta = 10^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 100 + 44 = 144 \)
Vì \( \Delta > 0 \), phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 12}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
\( x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-10 – \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 – 12}{2} = \frac{-22}{2} = -11 \)

Bước 5: Kiểm tra nghiệm với điều kiện xác định.

Chúng ta tìm được hai nghiệm là \( x=1 \) và \( x=-11 \).
Điều kiện xác định của phương trình là \( x \notin \{-1, -3, -5, -7, -9\} \).
Cả hai nghiệm \( x=1 \) và \( x=-11 \) đều thỏa mãn điều kiện xác định.

Kết luận:

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là 1 và -11.

Các em thấy đấy, với dạng bài này, việc phân tích mẫu số thành nhân tử và áp dụng phương pháp tách phân thức là rất quan trọng. Hãy luyện tập thêm các bài tương tự để nắm vững hơn dạng toán này nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy.