Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một dạng bài tập khá thú vị trong chương trình Toán học, đó là tìm nghiệm nguyên của các phương trình bậc nhất hai ẩn. Đây là một kỹ năng quan trọng, giúp chúng ta mở rộng cách suy nghĩ và giải quyết vấn đề.

Chúng ta sẽ đi qua từng câu a, b, c một cách chi tiết nhé!

Câu a) 5x + 3y = 2

Đây là một phương trình bậc nhất hai ẩn với hệ số tương đối nhỏ. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp “thử và sai” kết hợp với việc phân tích để tìm ra nghiệm nguyên.

Bước 1: Tìm một nghiệm riêng bất kỳ.

Chúng ta có thể thử các giá trị nguyên cho x hoặc y.

Nếu cho \(x = 1\), ta có: \(5(1) + 3y = 2\)
\(5 + 3y = 2\)
\(3y = 2 – 5\)
\(3y = -3\)
\(y = -1\)

Vậy, ta tìm được một nghiệm riêng là \((x_0, y_0) = (1, -1)\).

Bước 2: Biểu diễn nghiệm tổng quát.

Từ phương trình \(5x + 3y = 2\), ta có thể viết lại như sau:
\(5x = 2 – 3y\)
\(5x = 2 – 3y\)
Ta thấy \(2 – 3y\) phải chia hết cho 5.
Hoặc, ta có thể viết:
\(3y = 2 – 5x\)
Ta thấy \(2 – 5x\) phải chia hết cho 3.
Để dễ dàng hơn, chúng ta sử dụng nghiệm riêng đã tìm được: \((1, -1)\).
Ta có:
\(5x + 3y = 2\)
\(5(1) + 3(-1) = 2\)

Trừ hai phương trình cho nhau, ta được:
\(5(x – 1) + 3(y – (-1)) = 0\)
\(5(x – 1) + 3(y + 1) = 0\)
\(5(x – 1) = -3(y + 1)\)

Vì 5 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau (ƯCLN(5, 3) = 1), nên ta suy ra:
\(x – 1\) phải chia hết cho 3. Đặt \(x – 1 = 3k\) với \(k\) là một số nguyên.
Suy ra \(x = 1 + 3k\).

Thay \(x – 1 = 3k\) vào phương trình \(5(x – 1) = -3(y + 1)\):
\(5(3k) = -3(y + 1)\)
\(15k = -3(y + 1)\)
Chia cả hai vế cho -3:
\(-5k = y + 1\)
\(y = -1 – 5k\)

Vậy, tập nghiệm nguyên của phương trình là:
\( \begin{cases} x = 1 + 3k \\ y = -1 – 5k \end{cases} \)
với \(k\) là số nguyên bất kỳ.

Kiểm tra:

Thay nghiệm tổng quát vào phương trình ban đầu:
\(5(1 + 3k) + 3(-1 – 5k)\)
\(= 5 + 15k – 3 – 15k\)
\(= 2\) (Đúng)

Câu b) 38x + 117y = 15

Đối với phương trình này, các hệ số lớn hơn, nên phương pháp “thử và sai” trực tiếp sẽ khó khăn. Chúng ta sẽ sử dụng thuật toán Euclid mở rộng để tìm nghiệm riêng.

Bước 1: Sử dụng thuật toán Euclid để tìm ƯCLN(38, 117).

\(117 = 3 \cdot 38 + 3\)
\(38 = 12 \cdot 3 + 2\)
\(3 = 1 \cdot 2 + 1\)
\(2 = 2 \cdot 1 + 0\)
Vậy, ƯCLN(38, 117) = 1.

Vì 1 là ước của 15, nên phương trình có nghiệm nguyên.

Bước 2: Biểu diễn ƯCLN(38, 117) dưới dạng tổ hợp tuyến tính của 38 và 117.

Ta đi ngược lại các bước của thuật toán Euclid:
\(1 = 3 – 1 \cdot 2\)
\(1 = 3 – 1 \cdot (38 – 12 \cdot 3)\)
\(1 = 3 – 38 + 12 \cdot 3\)
\(1 = 13 \cdot 3 – 38\)
\(1 = 13 \cdot (117 – 3 \cdot 38) – 38\)
\(1 = 13 \cdot 117 – 39 \cdot 38 – 38\)
\(1 = 13 \cdot 117 – 40 \cdot 38\)
\(1 = (-40) \cdot 38 + 13 \cdot 117\)

Vậy ta có một biểu diễn của 1 là: \(-40 \cdot 38 + 13 \cdot 117 = 1\).

Bước 3: Tìm một nghiệm riêng cho phương trình 38x + 117y = 15.

Nhân cả hai vế của biểu thức trên với 15:
\(15 \cdot [(-40) \cdot 38 + 13 \cdot 117] = 15 \cdot 1\)
\( (-600) \cdot 38 + 195 \cdot 117 = 15 \)

So sánh với phương trình \(38x + 117y = 15\), ta có một nghiệm riêng là:
\( (x_0, y_0) = (-600, 195) \)

Bước 4: Biểu diễn nghiệm tổng quát.

Dạng tổng quát của nghiệm phương trình \(ax + by = c\) với \( (x_0, y_0) \) là một nghiệm riêng là:
\( \begin{cases} x = x_0 + \frac{b}{d}t \\ y = y_0 – \frac{a}{d}t \end{cases} \)
với \(d = \text{ƯCLN}(a, b)\) và \(t\) là số nguyên.

Trong trường hợp này, \(a = 38\), \(b = 117\), \(c = 15\), \(d = 1\), \(x_0 = -600\), \(y_0 = 195\).
Vậy, tập nghiệm nguyên của phương trình là:
\( \begin{cases} x = -600 + \frac{117}{1}t \\ y = 195 – \frac{38}{1}t \end{cases} \)
\( \begin{cases} x = -600 + 117t \\ y = 195 – 38t \end{cases} \)
với \(t\) là số nguyên bất kỳ.

Kiểm tra:

Thay nghiệm tổng quát vào phương trình ban đầu:
\(38(-600 + 117t) + 117(195 – 38t)\)
\(= 38(-600) + 38 \cdot 117t + 117 \cdot 195 – 117 \cdot 38t\)
\(= -22800 + 4446t + 22815 – 4446t\)
\(= 15\) (Đúng)

Câu c) 21x – 18y = 4

Bước 1: Kiểm tra xem phương trình có nghiệm nguyên hay không.

Chúng ta cần tìm ƯCLN(21, -18).
ƯCLN(21, -18) = ƯCLN(21, 18).
Sử dụng thuật toán Euclid:
\(21 = 1 \cdot 18 + 3\)
\(18 = 6 \cdot 3 + 0\)
Vậy, ƯCLN(21, 18) = 3.

Bây giờ, chúng ta kiểm tra xem ước chung lớn nhất này có phải là ước của vế phải hay không.
Vế phải là 4.
Vì 3 không chia hết cho 4, nên phương trình này không có nghiệm nguyên.

Giải thích rõ hơn:

Phương trình \(ax + by = c\) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi ƯCLN(a, b) là ước của c.
Ở đây, \(a = 21\), \(b = -18\), \(c = 4\).
ƯCLN(21, -18) = 3.
Vì \(3 \nmid 4\), nên phương trình không có nghiệm nguyên.

Hy vọng với phần trình bày chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn. Hãy luyện tập thêm các bài tập tương tự để nắm vững kiến thức nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy.