Xin chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em giải một bài toán rất thú vị. Bài toán này thoạt nhìn có vẻ hơi phức tạp, nhưng thực ra lại rất quen thuộc với các dạng toán chúng ta đã học. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(2x^2 + 3y^2 + 4xy – 8x – 2y + 18\)

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhóm hạng tử và hoàn thành bình phương. Đây là một kỹ thuật rất hiệu quả để biến đổi các biểu thức đa thức phức tạp thành những dạng đơn giản hơn.

Bước 1: Nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\).

Chúng ta sẽ cố gắng “ép” các hạng tử chứa \(x\) vào dạng \( (ax+b)^2 \) hoặc các biểu thức tương tự.

Xét biểu thức \(2x^2 + 4xy – 8x\). Chúng ta có thể nhóm như sau:

\(2(x^2 + 2xy – 4x)\)

Bây giờ, chúng ta tập trung vào phần trong ngoặc đơn \(x^2 + 2xy – 4x\). Để hoàn thành bình phương cho \(x\), ta cần có dạng \( (x + …)^2 \) hoặc \( (x – …)^2 \). Tuy nhiên, ở đây có cả \(y\), nên chúng ta sẽ nghĩ đến việc nhóm theo \(x\) và cả \(y\).

Bước 2: Biến đổi biểu thức bằng cách thêm và bớt các hạng tử phù hợp.

Chúng ta sẽ thử nhóm các hạng tử theo một cách khác, tập trung vào việc tạo ra các bình phương.

Hãy nhìn vào các hạng tử bậc hai: \(2x^2 + 3y^2 + 4xy\). Chúng ta có thể cố gắng tạo ra dạng \( (ax+by)^2 \).

Thử nhóm như sau:

\( (2x^2 + 4xy + 2y^2) + y^2 – 8x – 2y + 18 \)

Phần trong ngoặc đơn đầu tiên có thể được viết lại thành bình phương:

\( 2(x^2 + 2xy + y^2) + y^2 – 8x – 2y + 18 \)

\( 2(x+y)^2 + y^2 – 8x – 2y + 18 \)

Bây giờ, chúng ta cần xử lý các hạng tử còn lại: \( y^2 – 8x – 2y + 18 \). Vẫn còn \(x\). Chúng ta cần nhóm các hạng tử \(x\) và \(y\) lại với nhau một cách hợp lý.

Bước 3: Tìm cách nhóm các hạng tử \(x\) và \(y\) để tạo thành bình phương.

Hãy thử một cách tiếp cận khác. Chúng ta sẽ cố gắng tạo ra các bình phương chứa cả \(x\) và \(y\).

Xét biểu thức ban đầu: \(2x^2 + 3y^2 + 4xy – 8x – 2y + 18\)

Ta có thể viết lại \(2x^2\) thành \(x^2 + x^2\).

\( (x^2 + 4xy + 4y^2) + 2x^2 – 2x^2 + 3y^2 – 4y^2 – 8x – 2y + 18 \)

\( (x^2 + 4xy + 4y^2) – y^2 – 8x – 2y + 18 \)

\( (x + 2y)^2 – y^2 – 8x – 2y + 18 \)

Vẫn còn \(y^2\), \(x\), \(y\). Chúng ta cần tìm cách gom chúng lại.

Bước 4: Tiếp tục hoàn thành bình phương.

Hãy thử nhóm theo \(x\) trước, rồi đến \(y\).

\(2x^2 + 4xy – 8x + 3y^2 – 2y + 18\)

Xét phần chứa \(x\): \(2x^2 + 4xy – 8x = 2(x^2 + 2xy – 4x)\). Để hoàn thành bình phương \(x^2 – 4x\), ta cần thêm \( (-4/2)^2 = 4 \). Nhưng ở đây có \(2xy\).

Ta sẽ nhóm như sau:

\( (2x^2 + 4xy + 2y^2) + y^2 – 8x – 2y + 18 \)

\( 2(x^2 + 2xy + y^2) + y^2 – 8x – 2y + 18 \)

\( 2(x+y)^2 + y^2 – 8x – 2y + 18 \)

Bây giờ, chúng ta cần xử lý \( y^2 – 8x – 2y + 18 \). Vẫn còn \(x\) và \(y\).

Bước 5: Một cách tiếp cận hiệu quả hơn là biến đổi toàn bộ biểu thức thành tổng các bình phương.

Chúng ta sẽ cố gắng tạo ra các bình phương có dạng \( (ax+by+c)^2 \) hoặc các bình phương riêng lẻ.

Xét biểu thức: \(2x^2 + 3y^2 + 4xy – 8x – 2y + 18\)

Ta có thể viết lại như sau:

\( (x^2 + 4xy + 4y^2) + 2x^2 – 2x^2 + 3y^2 – 4y^2 – 8x – 2y + 18 \)

\( (x + 2y)^2 – y^2 – 8x – 2y + 18 \)

Chưa ổn lắm. Hãy thử một cách khác:

\( (2x^2 + 4xy + 2y^2) + y^2 – 8x – 2y + 18 \)

\( 2(x+y)^2 + y^2 – 8x – 2y + 18 \)

Bây giờ, ta cần nhóm các hạng tử \(y^2, -8x, -2y\) lại với \(2(x+y)^2\).

Hãy nhìn kỹ lại: \(2x^2 + 3y^2 + 4xy – 8x – 2y + 18\)

Chúng ta có thể nhóm theo \(x\) trước:

\(2x^2 + x(4y – 8) + (3y^2 – 2y + 18)\)

Để hoàn thành bình phương cho \(x\), ta cần thêm \( \left(\frac{4y-8}{2 \times 2}\right)^2 = (y-2)^2 \).

Ta sẽ thêm và bớt \(2(y-2)^2\).

\(2[x^2 + x(2y – 4) + (y-2)^2] – 2(y-2)^2 + 3y^2 – 2y + 18\)

\(2[x + (y-2)]^2 – 2(y^2 – 4y + 4) + 3y^2 – 2y + 18\)

\(2(x + y – 2)^2 – 2y^2 + 8y – 8 + 3y^2 – 2y + 18\)

\(2(x + y – 2)^2 + (3y^2 – 2y^2) + (8y – 2y) + (18 – 8)\)

\(2(x + y – 2)^2 + y^2 + 6y + 10\)

Bây giờ, chúng ta cần hoàn thành bình phương cho phần còn lại của \(y\): \(y^2 + 6y + 10\).

\(y^2 + 6y + 10 = (y^2 + 6y + 9) + 1 = (y+3)^2 + 1\)

Vậy, biểu thức ban đầu trở thành:

\(2(x + y – 2)^2 + (y+3)^2 + 1\)

Bước 6: Tìm giá trị nhỏ nhất.

Chúng ta biết rằng bình phương của một số thực luôn không âm. Do đó:

\( (x + y – 2)^2 \ge 0 \) với mọi \(x, y\)

\( (y+3)^2 \ge 0 \) với mọi \(y\)

Vì vậy,

\(2(x + y – 2)^2 \ge 0\)

\( (y+3)^2 \ge 0\)

Và,

\(2(x + y – 2)^2 + (y+3)^2 \ge 0\)

Do đó,

\(2(x + y – 2)^2 + (y+3)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1\)

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 1.

Để đạt được giá trị nhỏ nhất này, chúng ta cần các số hạng bình phương bằng 0:

\( y+3 = 0 \Rightarrow y = -3 \)

Và

\( x + y – 2 = 0 \)

Thay \( y = -3 \) vào phương trình thứ hai:

\( x + (-3) – 2 = 0 \)

\( x – 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \)

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 1, đạt được khi \( x = 5 \) và \( y = -3 \).

Bài toán này cho thấy sức mạnh của việc biến đổi biểu thức về dạng tổng các bình phương. Các em hãy ghi nhớ phương pháp này nhé!