Xin chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị về tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đó là bài toán:

Tìm Min A :

A = |x-1| + |x-2| + |x-3| + |x-4|

Trước hết, các em cần nhớ lại định nghĩa giá trị tuyệt đối:

|a| = a nếu a >= 0

|a| = -a nếu a < 0

Đối với bài toán này, chúng ta có tổng của nhiều biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, chúng ta sẽ xem xét các trường hợp của x dựa trên các điểm làm cho các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối bằng 0. Các điểm này là x = 1, x = 2, x = 3, và x = 4.

Chúng ta sẽ chia trục số thành các khoảng dựa trên các điểm này.

Trường hợp 1: x < 1

Trong trường hợp này, ta có:

x – 1 < 0 => |x-1| = -(x-1) = 1 – x

x – 2 < 0 => |x-2| = -(x-2) = 2 – x

x – 3 < 0 => |x-3| = -(x-3) = 3 – x

x – 4 < 0 => |x-4| = -(x-4) = 4 – x

Khi đó, biểu thức A trở thành:

A = (1 – x) + (2 – x) + (3 – x) + (4 – x)

A = 1 – x + 2 – x + 3 – x + 4 – x

A = (1 + 2 + 3 + 4) + (-x – x – x – x)

A = 10 – 4x

Vì x < 1, nên -4x > -4. Do đó, A = 10 – 4x > 10 – 4 = 6.

Vậy, trong trường hợp này, A > 6.

Trường hợp 2: 1 <= x < 2

Trong trường hợp này, ta có:

x – 1 >= 0 => |x-1| = x – 1

x – 2 < 0 => |x-2| = -(x-2) = 2 – x

x – 3 < 0 => |x-3| = -(x-3) = 3 – x

x – 4 < 0 => |x-4| = -(x-4) = 4 – x

Khi đó, biểu thức A trở thành:

A = (x – 1) + (2 – x) + (3 – x) + (4 – x)

A = x – 1 + 2 – x + 3 – x + 4 – x

A = (-1 + 2 + 3 + 4) + (x – x – x – x)

A = 8 – 2x

Vì 1 <= x < 2, nên -4 <= -2x < -2. Do đó, 8 - 4 <= 8 - 2x < 8 - 2.

Vậy, trong trường hợp này, 4 <= A < 6.

Trường hợp 3: 2 <= x < 3

Trong trường hợp này, ta có:

x – 1 >= 0 => |x-1| = x – 1

x – 2 >= 0 => |x-2| = x – 2

x – 3 < 0 => |x-3| = -(x-3) = 3 – x

x – 4 < 0 => |x-4| = -(x-4) = 4 – x

Khi đó, biểu thức A trở thành:

A = (x – 1) + (x – 2) + (3 – x) + (4 – x)

A = x – 1 + x – 2 + 3 – x + 4 – x

A = (-1 – 2 + 3 + 4) + (x + x – x – x)

A = 4

Vậy, trong trường hợp này, A = 4.

Trường hợp 4: 3 <= x < 4

Trong trường hợp này, ta có:

x – 1 >= 0 => |x-1| = x – 1

x – 2 >= 0 => |x-2| = x – 2

x – 3 >= 0 => |x-3| = x – 3

x – 4 < 0 => |x-4| = -(x-4) = 4 – x

Khi đó, biểu thức A trở thành:

A = (x – 1) + (x – 2) + (x – 3) + (4 – x)

A = x – 1 + x – 2 + x – 3 + 4 – x

A = (-1 – 2 – 3 + 4) + (x + x + x – x)

A = -2 + 2x

Vì 3 <= x < 4, nên 6 <= 2x < 8. Do đó, -2 + 6 <= -2 + 2x < -2 + 8.

Vậy, trong trường hợp này, 4 <= A < 6.

Trường hợp 5: x >= 4

Trong trường hợp này, ta có:

x – 1 >= 0 => |x-1| = x – 1

x – 2 >= 0 => |x-2| = x – 2

x – 3 >= 0 => |x-3| = x – 3

x – 4 >= 0 => |x-4| = x – 4

Khi đó, biểu thức A trở thành:

A = (x – 1) + (x – 2) + (x – 3) + (x – 4)

A = x – 1 + x – 2 + x – 3 + x – 4

A = (x + x + x + x) + (-1 – 2 – 3 – 4)

A = 4x – 10

Vì x >= 4, nên 4x >= 16. Do đó, A = 4x – 10 >= 16 – 10 = 6.

Vậy, trong trường hợp này, A >= 6.

Bây giờ, chúng ta hãy tổng hợp kết quả từ tất cả các trường hợp:

– Nếu x < 1, thì A > 6.

– Nếu 1 <= x < 2, thì 4 <= A < 6.

– Nếu 2 <= x < 3, thì A = 4.

– Nếu 3 <= x < 4, thì 4 <= A < 6.

– Nếu x >= 4, thì A >= 6.

Quan sát các kết quả này, ta thấy giá trị nhỏ nhất của A là 4, xảy ra khi 2 <= x < 3. Đặc biệt, khi x = 2 hoặc x = 3, A cũng bằng 4. Một cách giải khác nhanh hơn (với tính chất của bất đẳng thức tam giác):

Các em có thể nhớ đến bất đẳng thức tam giác: |a| + |b| >= |a+b|.
Và một hệ quả quan trọng là: |a| + |b| >= |a-b|.
Áp dụng vào bài toán này, ta có thể nhóm các số hạng lại:

A = (|x-1| + |x-4|) + (|x-2| + |x-3|)

Xét nhóm thứ nhất: |x-1| + |x-4|.
Để giá trị này nhỏ nhất, ta muốn (x-1) và (x-4) có dấu trái nhau hoặc một trong hai bằng 0.
Sử dụng bất đẳng thức tam giác với |a-b| <= |a| + |b|, ta có: |x-1| + |4-x| >= |(x-1) + (4-x)| = |3| = 3.
Hoặc:
|x-1| + |x-4| >= |(x-1) – (x-4)| = |x-1-x+4| = |3| = 3.
Giá trị nhỏ nhất của |x-1| + |x-4| là 3, đạt được khi 1 <= x <= 4. Xét nhóm thứ hai: |x-2| + |x-3|. Tương tự, ta có: |x-2| + |3-x| >= |(x-2) + (3-x)| = |1| = 1.
Hoặc:
|x-2| + |x-3| >= |(x-2) – (x-3)| = |x-2-x+3| = |1| = 1.
Giá trị nhỏ nhất của |x-2| + |x-3| là 1, đạt được khi 2 <= x <= 3. Vậy, A = (|x-1| + |x-4|) + (|x-2| + |x-3|) >= 3 + 1 = 4.

Dấu “=” xảy ra khi cả hai bất đẳng thức trên cùng xảy ra dấu “=”.
Điều này có nghĩa là:
1 <= x <= 4 (để |x-1| + |x-4| = 3) và 2 <= x <= 3 (để |x-2| + |x-3| = 1) Để cả hai điều kiện này cùng thỏa mãn, ta cần x thuộc phần giao của hai khoảng này, tức là 2 <= x <= 3. Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của A là 4, đạt được khi 2 <= x <= 3. Vậy, chúng ta đã tìm ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 4. Các em thấy đấy, việc phân tích kỹ các trường hợp hoặc vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức sẽ giúp chúng ta giải quyết bài toán một cách hiệu quả. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, các em đừng ngần ngại hỏi cô nhé!