Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em ôn tập và giải quyết một số bài tập về căn bậc hai, đặc biệt là kỹ năng rút gọn biểu thức chứa căn.

Chúng ta sẽ cùng nhau đi qua từng câu một, thầy/cô sẽ giải thích cặn kẽ từng bước để các em hiểu rõ bản chất nhé.

a) Rút gọn \( \sqrt{4x^2y} \) (với \( xy \ge 0 \))

Để rút gọn biểu thức này, chúng ta cần áp dụng quy tắc căn bậc hai của một tích và căn bậc hai của một bình phương.

Ta có: \( \sqrt{4x^2y} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{y} \)

Trong đó:

\( \sqrt{4} = 2 \)

\( \sqrt{x^2} = |x| \)

Vì điều kiện đề bài cho là \( xy \ge 0 \), và chúng ta đang xét \( \sqrt{x^2} \), ta cần xem xét dấu của \( x \). Tuy nhiên, để đảm bảo \( \sqrt{x^2y} \) có nghĩa, nếu \( y > 0 \) thì \( x^2 \) phải không âm (luôn đúng). Nếu \( y < 0 \) thì \( x^2 \) phải không dương, suy ra \( x=0 \). Nếu \( y = 0 \) thì \( x \) tùy ý.

Tuy nhiên, cách rút gọn chuẩn nhất là dựa vào \( \sqrt{x^2} = |x| \). Với điều kiện \( xy \ge 0 \), chúng ta có hai trường hợp có thể xảy ra: hoặc cả \( x \) và \( y \) đều không âm, hoặc cả \( x \) và \( y \) đều không dương.

Xét \( \sqrt{4x^2y} \):

Ta có thể viết lại thành \( \sqrt{(2x)^2 y} \).

Vậy, \( \sqrt{4x^2y} = \sqrt{(2x)^2} \cdot \sqrt{y} = |2x| \cdot \sqrt{y} \).

Do \( |2x| = 2|x| \), nên biểu thức trở thành \( 2|x|\sqrt{y} \).

Lưu ý quan trọng: Khi rút gọn \( \sqrt{x^2} \), ta luôn phải dùng giá trị tuyệt đối \( |x| \). Việc bỏ qua giá trị tuyệt đối là một lỗi sai phổ biến.

Để làm rõ hơn, nếu đề bài không cho điều kiện \( xy \ge 0 \) mà chỉ cho \( y \ge 0 \), thì \( \sqrt{x^2y} = |x|\sqrt{y} \). Với điều kiện \( xy \ge 0 \), có thể hiểu rằng chúng ta đang làm việc trong một miền xác định mà biểu thức có nghĩa.

Tuy nhiên, để biểu thức \( \sqrt{4x^2y} \) có nghĩa, ta cần \( 4x^2y \ge 0 \). Vì \( 4x^2 \ge 0 \) với mọi \( x \), nên ta chỉ cần \( y \ge 0 \). Điều kiện \( xy \ge 0 \) kết hợp với \( y \ge 0 \) sẽ suy ra \( x \ge 0 \).

Nếu \( x \ge 0 \) thì \( |x| = x \). Khi đó, \( 2|x|\sqrt{y} = 2x\sqrt{y} \).

Vậy, với điều kiện \( xy \ge 0 \) và để \( \sqrt{4x^2y} \) có nghĩa, ta suy ra \( x \ge 0 \) và \( y \ge 0 \). Do đó, \( \sqrt{4x^2y} = 2x\sqrt{y} \).

b) Rút gọn \( \sqrt{36a^2b} \) (với \( a < 0, b \ge 0 \))

Tương tự như câu a, ta áp dụng các quy tắc căn bậc hai.

Ta có: \( \sqrt{36a^2b} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} \)

Trong đó:

\( \sqrt{36} = 6 \)

\( \sqrt{a^2} = |a| \)

Biểu thức trở thành \( 6|a|\sqrt{b} \).

Đề bài cho điều kiện \( a < 0 \). Do đó, \( |a| = -a \).

Thay vào biểu thức, ta được: \( 6(-a)\sqrt{b} = -6a\sqrt{b} \).

Vậy, \( \sqrt{36a^2b} = -6a\sqrt{b} \).

c) Rút gọn \( \sqrt{27 \cdot 48 (1-a)^2} \) (với \( a > 1 \))

Đây là một bài toán yêu cầu chúng ta phân tích các số và áp dụng quy tắc căn bậc hai của một tích.

Trước hết, ta phân tích các thừa số:

\( 27 = 9 \cdot 3 = 3^2 \cdot 3 \)

\( 48 = 16 \cdot 3 = 4^2 \cdot 3 \)

Thay vào biểu thức dưới dấu căn:

\( 27 \cdot 48 (1-a)^2 = (3^2 \cdot 3) \cdot (4^2 \cdot 3) \cdot (1-a)^2 \)

\( = 3^2 \cdot 4^2 \cdot (1-a)^2 \cdot 3 \cdot 3 \)

\( = 3^2 \cdot 4^2 \cdot (1-a)^2 \cdot 3^2 \)

\( = (3 \cdot 4 \cdot (1-a))^2 \cdot 3^2 \)

\( = (12(1-a))^2 \cdot 3^2 \)

Bây giờ ta lấy căn bậc hai:

\( \sqrt{27 \cdot 48 (1-a)^2} = \sqrt{(12(1-a))^2 \cdot 3^2} \)

\( = \sqrt{(12(1-a))^2} \cdot \sqrt{3^2} \)

\( = |12(1-a)| \cdot 3 \)

Đề bài cho điều kiện \( a > 1 \). Điều này có nghĩa là \( 1-a < 0 \).

Do đó, \( |12(1-a)| = -(12(1-a)) = -12(1-a) = -12 + 12a = 12a – 12 \).

Thay vào biểu thức, ta được: \( (12a – 12) \cdot 3 = 36a – 36 \).

Một cách khác để làm câu c:

\( \sqrt{27 \cdot 48 (1-a)^2} = \sqrt{27} \cdot \sqrt{48} \cdot \sqrt{(1-a)^2} \)

\( = \sqrt{9 \cdot 3} \cdot \sqrt{16 \cdot 3} \cdot |1-a| \)

\( = 3\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot |1-a| \)

\( = (3 \cdot 4) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) \cdot |1-a| \)

\( = 12 \cdot 3 \cdot |1-a| \)

\( = 36 |1-a| \)

Vì \( a > 1 \) nên \( 1-a < 0 \), do đó \( |1-a| = -(1-a) = a-1 \).

Vậy, \( 36(a-1) = 36a – 36 \).

Kết luận, \( \sqrt{27 \cdot 48 (1-a)^2} = 36a – 36 \).

d) Rút gọn \( \sqrt{5a} \cdot \sqrt{45a} – 3a \) (với \( a \ge 0 \))

Ta áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai.

\( \sqrt{5a} \cdot \sqrt{45a} = \sqrt{(5a)(45a)} \)

\( = \sqrt{5 \cdot 45 \cdot a \cdot a} \)

\( = \sqrt{225 \cdot a^2} \)

\( = \sqrt{225} \cdot \sqrt{a^2} \)

\( = 15 \cdot |a| \)

Đề bài cho điều kiện \( a \ge 0 \). Do đó, \( |a| = a \).

Vậy, \( \sqrt{5a} \cdot \sqrt{45a} = 15a \).

Thay vào biểu thức ban đầu:

\( 15a – 3a = 12a \).

Vậy, \( \sqrt{5a} \cdot \sqrt{45a} – 3a = 12a \).

e) Rút gọn \( \frac{\sqrt{63y^3}}{\sqrt{7y}} \) (với \( y \ne 0 \))

Để biểu thức có nghĩa, ta cần \( y > 0 \) (vì nếu \( y < 0 \), thì \( 7y < 0 \) và \( 63y^3 < 0 \)). Giả sử \( y > 0 \).

Ta áp dụng quy tắc chia các căn bậc hai:

\( \frac{\sqrt{63y^3}}{\sqrt{7y}} = \sqrt{\frac{63y^3}{7y}} \)

Thực hiện phép chia trong căn:

\( \frac{63y^3}{7y} = \frac{63}{7} \cdot \frac{y^3}{y} = 9 \cdot y^{3-1} = 9y^2 \).

Vậy, biểu thức trở thành:

\( \sqrt{9y^2} \)

\( = \sqrt{9} \cdot \sqrt{y^2} \)

\( = 3 \cdot |y| \)

Vì ta đã giả sử \( y > 0 \), nên \( |y| = y \).

Do đó, \( 3y \).

Vậy, \( \frac{\sqrt{63y^3}}{\sqrt{7y}} = 3y \) (với \( y > 0 \)).

f) Rút gọn \( \frac{\sqrt{48x^3}}{\sqrt{3^5}} \) (với \( x > 0 \))

Ta áp dụng quy tắc chia các căn bậc hai.

\( \frac{\sqrt{48x^3}}{\sqrt{3^5}} = \sqrt{\frac{48x^3}{3^5}} \)

Ta có \( 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243 \).

Và \( 48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3 \).

Thay vào biểu thức:

\( \sqrt{\frac{(2^4 \cdot 3)x^3}{3^5}} = \sqrt{\frac{2^4 \cdot x^3}{3^4}} \)

\( = \frac{\sqrt{2^4 \cdot x^3}}{\sqrt{3^4}} \)

\( = \frac{\sqrt{2^4} \cdot \sqrt{x^3}}{\sqrt{(3^2)^2}} \)

\( = \frac{2^2 \cdot \sqrt{x^3}}{3^2} \)

\( = \frac{4 \cdot x\sqrt{x}}{9} \)

Một cách khác để làm câu f:

\( \sqrt{48x^3} = \sqrt{16x^2 \cdot 3x} = \sqrt{16x^2} \cdot \sqrt{3x} = 4|x|\sqrt{3x} \)

Vì \( x > 0 \), nên \( |x| = x \). Vậy \( \sqrt{48x^3} = 4x\sqrt{3x} \).

\( \sqrt{3^5} = \sqrt{3^4 \cdot 3} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{3} = 3^2 \sqrt{3} = 9\sqrt{3} \).

Biểu thức trở thành:

\( \frac{4x\sqrt{3x}}{9\sqrt{3}} = \frac{4x}{9} \cdot \frac{\sqrt{3x}}{\sqrt{3}} \)

\( = \frac{4x}{9} \cdot \sqrt{\frac{3x}{3}} \)

\( = \frac{4x}{9} \cdot \sqrt{x} \)

\( = \frac{4x\sqrt{x}}{9} \).

Vậy, \( \frac{\sqrt{48x^3}}{\sqrt{3^5}} = \frac{4x\sqrt{x}}{9} \) (với \( x > 0 \)).

Thầy/cô hy vọng với phần giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nâng cao kỹ năng của mình nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô.