Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và luyện tập cách tính đạo hàm của các hàm số phân thức. Đây là một dạng bài rất quan trọng và thường gặp trong các kì thi. Thầy sẽ hướng dẫn các em sử dụng các công thức tính nhanh đã được cung cấp để giải quyết bài toán một cách hiệu quả nhất.

Chúng ta sẽ sử dụng các công thức sau:

1. Công thức tổng quát: \(\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}\)

2. Công thức tính nhanh cho hàm bậc nhất trên bậc nhất: Nếu \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) thì \(y’=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}\)

3. Công thức tính nhanh cho hàm bậc hai trên bậc nhất: Nếu \(y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}\) thì \(y’=\frac{adx^2+2aex+be-cd}{(dx+e)^2}\)

Bây giờ chúng ta cùng đi vào từng bài tập cụ thể nhé!

—

Bài tập (c): Tính đạo hàm của hàm số \(y=\frac{4-3x}{x+2}\)

Phân tích: Hàm số này có dạng \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\).

Chúng ta xác định các hệ số: \(a=-3\), \(b=4\), \(c=1\), \(d=2\).

Áp dụng công thức 2: \(y’=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}\)

Thay các giá trị vào công thức:

\(y’=\frac{(-3)(2)-(4)(1)}{(x+2)^2}\)

\(y’=\frac{-6-4}{(x+2)^2}\)

\(y’=\frac{-10}{(x+2)^2}\)

Vậy đạo hàm của hàm số là \(\boxed{y’=\frac{-10}{(x+2)^2}}\).

—

Bài tập (d): Tính đạo hàm của hàm số \(y=\frac{-5}{2x+1}\)

Phân tích: Hàm số này cũng có dạng \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\).

Chúng ta có thể viết lại là \(y=\frac{0x-5}{2x+1}\).

Vậy các hệ số là: \(a=0\), \(b=-5\), \(c=2\), \(d=1\).

Áp dụng công thức 2: \(y’=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}\)

Thay các giá trị vào công thức:

\(y’=\frac{(0)(1)-(-5)(2)}{(2x+1)^2}\)

\(y’=\frac{0-(-10)}{(2x+1)^2}\)

\(y’=\frac{10}{(2x+1)^2}\)

Vậy đạo hàm của hàm số là \(\boxed{y’=\frac{10}{(2x+1)^2}}\).

—

Bài tập (e): Tính đạo hàm của hàm số \(y=\frac{x^2+x-2}{x+b}\)

Phân tích: Hàm số này có dạng \(y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}\).

Chúng ta xác định các hệ số: \(a=1\), \(b=1\), \(c=-2\), \(d=1\), \(e=b\).

Áp dụng công thức 3: \(y’=\frac{adx^2+2aex+be-cd}{(dx+e)^2}\)

Thay các giá trị vào công thức:

\(y’=\frac{(1)(1)x^2+2(1)(b)x+(1)(b)-(-2)(1)}{(1x+b)^2}\)

\(y’=\frac{1x^2+2bx+b-(-2)}{(x+b)^2}\)

\(y’=\frac{x^2+2bx+b+2}{(x+b)^2}\)

Vậy đạo hàm của hàm số là \(\boxed{y’=\frac{x^2+2bx+b+2}{(x+b)^2}}\).

—

Bài tập (f): Tính đạo hàm của hàm số \(y=-\frac{x^2-4x+1}{2x-2}\)

Phân tích: Đầu tiên, chúng ta viết lại hàm số để nó có dạng chuẩn \(y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}\).

\(y=\frac{-(x^2-4x+1)}{2x-2} = \frac{-x^2+4x-1}{2x-2}\)

Chúng ta xác định các hệ số: \(a=-1\), \(b=4\), \(c=-1\), \(d=2\), \(e=-2\).

Áp dụng công thức 3: \(y’=\frac{adx^2+2aex+be-cd}{(dx+e)^2}\)

Thay các giá trị vào công thức:

\(y’=\frac{(-1)(2)x^2+2(-1)(-2)x+(4)(-2)-(-1)(2)}{(2x-2)^2}\)

\(y’=\frac{-2x^2+4x-8-(-2)}{(2x-2)^2}\)

\(y’=\frac{-2x^2+4x-8+2}{(2x-2)^2}\)

\(y’=\frac{-2x^2+4x-6}{(2x-2)^2}\)

Chúng ta có thể rút gọn thêm:

\(y’=\frac{-2(x^2-2x+3)}{(2(x-1))^2}\)

\(y’=\frac{-2(x^2-2x+3)}{4(x-1)^2}\)

\(y’=\frac{-(x^2-2x+3)}{2(x-1)^2}\)

Vậy đạo hàm của hàm số là \(\boxed{y’=\frac{-(x^2-2x+3)}{2(x-1)^2}}\).

—

Bài tập (g): Tính đạo hàm của hàm số \(y=\frac{x^2-1}{2x+5}\)

Phân tích: Hàm số này có dạng \(y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}\).

Chúng ta xác định các hệ số: \(a=1\), \(b=0\) (vì không có hạng tử \(x\)), \(c=-1\), \(d=2\), \(e=5\).

Áp dụng công thức 3: \(y’=\frac{adx^2+2aex+be-cd}{(dx+e)^2}\)

Thay các giá trị vào công thức:

\(y’=\frac{(1)(2)x^2+2(1)(5)x+(0)(5)-(-1)(2)}{(2x+5)^2}\)

\(y’=\frac{2x^2+10x+0-(-2)}{(2x+5)^2}\)

\(y’=\frac{2x^2+10x+2}{(2x+5)^2}\)

Chúng ta có thể rút gọn tử số:

\(y’=\frac{2(x^2+5x+1)}{(2x+5)^2}\)

Vậy đạo hàm của hàm số là \(\boxed{y’=\frac{2(x^2+5x+1)}{(2x+5)^2}}\).

—

Các em thấy đấy, việc sử dụng các công thức tính nhanh giúp chúng ta giải quyết bài toán đạo hàm của hàm phân thức một cách nhanh chóng và chính xác. Quan trọng là các em phải xác định đúng các hệ số \(a, b, c, d, e\) và áp dụng công thức một cách cẩn thận.

Chúc các em học tốt!