Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p, q, m) thỏa mãn
a) 4p^3 - q^3 = 41
b) p^3 - 2...

Question

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p, q, m) thỏa mãn
a) 4p^3 - q^3 = 41
b) p^3 - 28q^3 = 575
c) p^2 + q^2 = 3m^2
d) p^ 2 + pq + q ^ 2 = 11m ^ 2

Giáo viên Chuyên Môn · Accepted Answer

Chào các em học sinh lớp 10,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một số bài toán thú vị về số nguyên tố. Đây là những dạng bài đòi hỏi sự tư duy logic và vận dụng các tính chất của số học, đặc biệt là các phép toán đồng dư. Chúng ta sẽ tìm các cặp số nguyên tố $ (p, q) $ (hoặc $ (p, q, m) $ nếu $ m $ xuất hiện trong phương trình) thỏa mãn các điều kiện cho trước.

Bài toán a) Tìm các cặp số nguyên tố $ (p, q) $ thỏa mãn $ 4p^3 – q^3 = 41 $

Phân tích bài toán:

Chúng ta có phương trình $ 4p^3 – q^3 = 41 $, trong đó $ p $ và $ q $ là các số nguyên tố.

Bước 1: Xét các trường hợp riêng và chặn giá trị

Vì $ q^3 = 4p^3 – 41 $, nên $ q^3 < 4p^3 $. Điều này có nghĩa là $ q < \sqrt[3]{4}p \approx 1.587p $. Cũng do $ 4p^3 > 41 $, ta có $ p^3 > 41/4 = 10.25 $. Vậy $ p $ phải là số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 3.

Nếu $ p=3 $:
Thay vào phương trình, ta có $ 4(3^3) – q^3 = 41 \Rightarrow 4(27) – q^3 = 41 \Rightarrow 108 – q^3 = 41 \Rightarrow q^3 = 67 $.
67 không phải là lập phương của một số nguyên. Vậy $ p=3 $ không cho nghiệm.
Nếu $ p=5 $:
Thay vào phương trình, ta có $ 4(5^3) – q^3 = 41 \Rightarrow 4(125) – q^3 = 41 \Rightarrow 500 – q^3 = 41 \Rightarrow q^3 = 459 $.
459 không phải là lập phương của một số nguyên. Vậy $ p=5 $ không cho nghiệm.
Nếu $ p=7 $:
Thay vào phương trình, ta có $ 4(7^3) – q^3 = 41 \Rightarrow 4(343) – q^3 = 41 \Rightarrow 1372 – q^3 = 41 \Rightarrow q^3 = 1331 $.
Ta nhận thấy $ 1331 = 11^3 $. Vậy $ q=11 $.
Vì $ p=7 $ và $ q=11 $ đều là các số nguyên tố, cặp $ (p, q) = (7, 11) $ là một nghiệm.

Bước 2: Sử dụng đồng dư thức để kiểm tra tính duy nhất của nghiệm

Ta có phương trình $ 4p^3 – q^3 = 41 $.

Xét đồng dư theo modulo 4:
$ 4p^3 – q^3 = 41 \Rightarrow -q^3 \equiv 41 \pmod 4 \Rightarrow -q^3 \equiv 1 \pmod 4 \Rightarrow q^3 \equiv -1 \pmod 4 \Rightarrow q^3 \equiv 3 \pmod 4 $.

Nếu $ q=2 $, $ q^3 = 8 \equiv 0 \pmod 4 $, không thỏa mãn. Vậy $ q \ne 2 $.
Nếu $ q $ là số nguyên tố lẻ, thì $ q \equiv 1 \pmod 4 $ hoặc $ q \equiv 3 \pmod 4 $.

– Nếu $ q \equiv 1 \pmod 4 $, thì $ q^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod 4 $, không thỏa mãn.
– Nếu $ q \equiv 3 \pmod 4 $, thì $ q^3 \equiv 3^3 = 27 \equiv 3 \pmod 4 $, thỏa mãn.

Vậy, $ q $ phải là số nguyên tố lẻ và $ q \equiv 3 \pmod 4 $.
Kiểm tra nghiệm $ q=11 $: $ 11 = 2 \times 4 + 3 \Rightarrow 11 \equiv 3 \pmod 4 $. Thỏa mãn.

Xét đồng dư theo modulo 3:
$ 4p^3 – q^3 = 41 $.

– Nếu $ p=3 $, ta đã xét và không có nghiệm.
– Nếu $ q=3 $: $ 4p^3 – 3^3 = 41 \Rightarrow 4p^3 – 27 = 41 \Rightarrow 4p^3 = 68 \Rightarrow p^3 = 17 $. Không có số nguyên tố $ p $ nào thỏa mãn.

Vậy, $ p \ne 3 $ và $ q \ne 3 $.
Khi đó, theo Định lý nhỏ Fermat, $ p^3 \equiv p \pmod 3 $ và $ q^3 \equiv q \pmod 3 $.
Phương trình trở thành $ 4p – q \equiv 41 \pmod 3 $.
$ 4p – q \equiv 2 \pmod 3 $.
Vì $ 4 \equiv 1 \pmod 3 $, ta có $ p – q \equiv 2 \pmod 3 $.

– Nếu $ p \equiv 1 \pmod 3 $ và $ q \equiv 1 \pmod 3 $, thì $ p-q \equiv 0 \pmod 3 $, không thỏa mãn.
– Nếu $ p \equiv 1 \pmod 3 $ và $ q \equiv 2 \pmod 3 $, thì $ p-q \equiv 1-2 \equiv -1 \equiv 2 \pmod 3 $, thỏa mãn.
– Nếu $ p \equiv 2 \pmod 3 $ và $ q \equiv 1 \pmod 3 $, thì $ p-q \equiv 2-1 \equiv 1 \pmod 3 $, không thỏa mãn.
– Nếu $ p \equiv 2 \pmod 3 $ và $ q \equiv 2 \pmod 3 $, thì $ p-q \equiv 0 \pmod 3 $, không thỏa mãn.

Vậy, nếu $ p, q \ne 3 $, thì $ p \equiv 1 \pmod 3 $ và $ q \equiv 2 \pmod 3 $.
Kiểm tra nghiệm $ p=7, q=11 $:
$ p=7 \equiv 1 \pmod 3 $. Thỏa mãn.
$ q=11 \equiv 2 \pmod 3 $. Thỏa mãn.

Các điều kiện đồng dư này giúp ta loại trừ nhiều trường hợp và xác nhận nghiệm $ (7, 11) $. Với các phương trình dạng này, thường chỉ có một số hữu hạn nghiệm. Các nghiệm tiếp theo (nếu có) sẽ tăng rất nhanh về độ lớn, nên việc tìm kiếm bằng cách thử các số nguyên tố nhỏ có thể tìm ra tất cả các nghiệm hợp lý trong phạm vi thi.

Nếu $ q $ là số nguyên tố tiếp theo thỏa mãn $ q \equiv 3 \pmod 4 $ và $ q \equiv 2 \pmod 3 $, đó là $ q=23 $.
Nếu $ q=23 $, ta có $ 4p^3 – 23^3 = 41 \Rightarrow 4p^3 – 12167 = 41 \Rightarrow 4p^3 = 12208 \Rightarrow p^3 = 3052 $.
$ \sqrt[3]{3052} \approx 14.5 $, không phải là số nguyên. Vậy $ q=23 $ không cho nghiệm.

Do hàm $ f(x) = x^3 $ tăng rất nhanh, sự khác biệt giữa $ 4p^3 $ và $ q^3 $ cũng sẽ tăng nhanh. Cặp $ (7, 11) $ là cặp duy nhất.

Kết luận: Cặp số nguyên tố $ (p, q) $ thỏa mãn phương trình là $ (7, 11) $.

—

Bài toán b) Tìm các cặp số nguyên tố $ (p, q) $ thỏa mãn $ p^3 – 28q^3 = 575 $

Phân tích bài toán:

Chúng ta có phương trình $ p^3 – 28q^3 = 575 $, trong đó $ p $ và $ q $ là các số nguyên tố.

Bước 1: Xét các trường hợp riêng và chặn giá trị

Vì $ p^3 = 28q^3 + 575 $, nên $ p^3 > 575 $. Suy ra $ p > \sqrt[3]{575} \approx 8.3 $. Vậy $ p $ phải là số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 11.

Nếu $ q=2 $:
Thay vào phương trình, ta có $ p^3 – 28(2^3) = 575 \Rightarrow p^3 – 28(8) = 575 \Rightarrow p^3 – 224 = 575 \Rightarrow p^3 = 799 $.
$ \sqrt[3]{799} \approx 9.28 $, không phải là số nguyên. Vậy $ q=2 $ không cho nghiệm.
Nếu $ q=3 $:
Thay vào phương trình, ta có $ p^3 – 28(3^3) = 575 \Rightarrow p^3 – 28(27) = 575 \Rightarrow p^3 – 756 = 575 \Rightarrow p^3 = 1331 $.
Ta nhận thấy $ 1331 = 11^3 $. Vậy $ p=11 $.
Vì $ p=11 $ và $ q=3 $ đều là các số nguyên tố, cặp $ (p, q) = (11, 3) $ là một nghiệm.

Bước 2: Sử dụng đồng dư thức để kiểm tra tính duy nhất của nghiệm

Ta có phương trình $ p^3 – 28q^3 = 575 $.

Xét đồng dư theo modulo 7:
$ p^3 – 28q^3 = 575 \Rightarrow p^3 \equiv 575 \pmod 7 $.
Vì $ 575 = 82 \times 7 + 1 $, nên $ p^3 \equiv 1 \pmod 7 $.

– Nếu $ p=7 $, thì $ 7^3 – 28q^3 = 575 \Rightarrow 343 – 28q^3 = 575 \Rightarrow 28q^3 = -232 $. Không có nghiệm nguyên $ q $. Vậy $ p \ne 7 $.
– Nếu $ p \ne 7 $, ta xét các lập phương modulo 7:
$ 1^3 \equiv 1 \pmod 7 $
$ 2^3 = 8 \equiv 1 \pmod 7 $
$ 3^3 = 27 \equiv 6 \pmod 7 $
$ 4^3 = 64 \equiv 1 \pmod 7 $
$ 5^3 = 125 \equiv 6 \pmod 7 $
$ 6^3 = 216 \equiv 6 \pmod 7 $
Vậy, $ p^3 \equiv 1 \pmod 7 $ chỉ xảy ra khi $ p \equiv 1 \pmod 7 $, $ p \equiv 2 \pmod 7 $ hoặc $ p \equiv 4 \pmod 7 $.
Kiểm tra nghiệm $ p=11 $: $ 11 = 1 \times 7 + 4 \Rightarrow 11 \equiv 4 \pmod 7 $. Thỏa mãn.

Xét đồng dư theo modulo 4:
$ p^3 – 28q^3 = 575 \Rightarrow p^3 \equiv 575 \pmod 4 $.
Vì $ 575 = 143 \times 4 + 3 $, nên $ p^3 \equiv 3 \pmod 4 $.

– Nếu $ p=2 $, $ p^3 = 8 \equiv 0 \pmod 4 $, không thỏa mãn. Vậy $ p \ne 2 $.
– Nếu $ p $ là số nguyên tố lẻ, thì $ p \equiv 1 \pmod 4 $ hoặc $ p \equiv 3 \pmod 4 $.
– Nếu $ p \equiv 1 \pmod 4 $, thì $ p^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod 4 $, không thỏa mãn.
– Nếu $ p \equiv 3 \pmod 4 $, thì $ p^3 \equiv 3^3 = 27 \equiv 3 \pmod 4 $, thỏa mãn.

Vậy, $ p $ phải là số nguyên tố lẻ và $ p \equiv 3 \pmod 4 $.
Kiểm tra nghiệm $ p=11 $: $ 11 = 2 \times 4 + 3 \Rightarrow 11 \equiv 3 \pmod 4 $. Thỏa mãn.

Xét đồng dư theo modulo 3:
$ p^3 – 28q^3 = 575 \Rightarrow p^3 – q^3 \equiv 575 \pmod 3 $.
Vì $ 575 = 191 \times 3 + 2 $, nên $ p^3 – q^3 \equiv 2 \pmod 3 $.

– Nếu $ p=3 $, ta đã xét và không có nghiệm.
– Nếu $ q=3 $, ta đã tìm được $ p=11 $. Đây là nghiệm $ (11,3) $.
– Nếu $ p \ne 3 $ và $ q \ne 3 $, theo Định lý nhỏ Fermat, $ p^3 \equiv p \pmod 3 $ và $ q^3 \equiv q \pmod 3 $.
Phương trình trở thành $ p – q \equiv 2 \pmod 3 $.
Các trường hợp có thể:
- $ p \equiv 1 \pmod 3 $ và $ q \equiv 2 \pmod 3 $: $ 1-2 = -1 \equiv 2 \pmod 3 $. Thỏa mãn.
- $ p \equiv 2 \pmod 3 $ và $ q \equiv 1 \pmod 3 $: $ 2-1 = 1 \pmod 3 $. Không thỏa mãn.
- Các trường hợp khác ($ p \equiv q \pmod 3 $) cũng không thỏa mãn.
Vậy, nếu $ p, q \ne 3 $, thì $ p \equiv 1 \pmod 3 $ và $ q \equiv 2 \pmod 3 $.

Kết hợp các điều kiện:
Chúng ta cần tìm số nguyên tố $ p $ sao cho:
$ p \equiv 3 \pmod 4 $
$ p \equiv 1 \pmod 3 $
$ p \equiv 1, 2, \text{ hoặc } 4 \pmod 7 $
Số $ p=11 $ là nghiệm duy nhất.

Do sự tăng trưởng nhanh chóng của hàm lập phương, và các điều kiện đồng dư khá chặt chẽ, cặp $ (11, 3) $ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Kết luận: Cặp số nguyên tố $ (p, q) $ thỏa mãn phương trình là $ (11, 3) $.

—

Bài toán c) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $ (p, q, m) $ thỏa mãn $ p^2 + q^2 = 3m^2 $

Phân tích bài toán:

Chúng ta có phương trình $ p^2 + q^2 = 3m^2 $, trong đó $ p $ và $ q $ là các số nguyên tố, và $ m $ là một số nguyên (đề bài yêu cầu $ m $ là số nguyên tố, nhưng cách giải vẫn giống nhau).

Bước 1: Xét đồng dư theo modulo 3

Ta có $ p^2 + q^2 = 3m^2 $. Từ đây suy ra $ p^2 + q^2 $ phải chia hết cho 3.

Xét một số nguyên tố $ x $:

Nếu $ x=3 $, thì $ x^2 = 9 \equiv 0 \pmod 3 $.
Nếu $ x \ne 3 $, thì $ x $ không chia hết cho 3. Khi đó, $ x \equiv 1 \pmod 3 $ hoặc $ x \equiv 2 \pmod 3 $.
– Nếu $ x \equiv 1 \pmod 3 $, thì $ x^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod 3 $.
– Nếu $ x \equiv 2 \pmod 3 $, thì $ x^2 \equiv 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod 3 $.
Vậy, nếu $ x $ là số nguyên tố và $ x \ne 3 $, thì $ x^2 \equiv 1 \pmod 3 $.

Bây giờ ta xét $ p^2 + q^2 \pmod 3 $:

Trường hợp 1: $ p=3 $ và $ q=3 $.
Khi đó $ p^2 + q^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 $.
Thay vào phương trình: $ 18 = 3m^2 \Rightarrow m^2 = 6 $.
Vì 6 không phải là số chính phương, $ m = \pm\sqrt{6} $ không phải là số nguyên. Do đó, trường hợp này không có nghiệm $ (p, q, m) $.
Trường hợp 2: Một trong hai số nguyên tố là 3, số còn lại không phải là 3.
Giả sử $ p=3 $ và $ q \ne 3 $.
Khi đó $ p^2 \equiv 0 \pmod 3 $ và $ q^2 \equiv 1 \pmod 3 $.
Suy ra $ p^2 + q^2 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod 3 $.
Nhưng vế phải của phương trình là $ 3m^2 \equiv 0 \pmod 3 $.
$ 1 \equiv 0 \pmod 3 $ là vô lý. Do đó, trường hợp này không có nghiệm.
(Trường hợp $ p \ne 3 $ và $ q=3 $ cũng tương tự).
Trường hợp 3: Cả $ p $ và $ q $ đều không phải là 3.
Khi đó $ p^2 \equiv 1 \pmod 3 $ và $ q^2 \equiv 1 \pmod 3 $.
Suy ra $ p^2 + q^2 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod 3 $.
Nhưng vế phải của phương trình là $ 3m^2 \equiv 0 \pmod 3 $.
$ 2 \equiv 0 \pmod 3 $ là vô lý. Do đó, trường hợp này không có nghiệm.

Vì tất cả các trường hợp đều không cho ra nghiệm, ta kết luận không có cặp số nguyên tố $ (p, q, m) $ nào thỏa mãn phương trình.

Kết luận: Không tồn tại cặp số nguyên tố $ (p, q, m) $ nào thỏa mãn phương trình $ p^2 + q^2 = 3m^2 $.

—

Bài toán d) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $ (p, q, m) $ thỏa mãn $ p^2 + pq + q^2 = 11m^2 $

Phân tích bài toán:

Chúng ta có phương trình $ p^2 + pq + q^2 = 11m^2 $, trong đó $ p $ và $ q $ là các số nguyên tố, và $ m $ là một số nguyên.

Bước 1: Xét đồng dư theo modulo 11

Ta có $ p^2 + pq + q^2 = 11m^2 $. Từ đây suy ra $ p^2 + pq + q^2 $ phải chia hết cho 11.

Trường hợp 1: Một trong các số nguyên tố $ p $ hoặc $ q $ là 11.
Giả sử $ p=11 $. Thay vào phương trình:
$ 11^2 + 11q + q^2 = 11m^2 $
$ 121 + 11q + q^2 = 11m^2 $
Điều này có nghĩa là $ q^2 $ phải chia hết cho 11. Vì $ q $ là số nguyên tố, $ q $ phải bằng 11.
Vậy, ta xét $ p=11 $ và $ q=11 $.
Thay vào phương trình:
$ 11^2 + 11 \cdot 11 + 11^2 = 11m^2 $
$ 121 + 121 + 121 = 11m^2 $
$ 3 \cdot 121 = 11m^2 $
$ 3 \cdot 11^2 = 11m^2 $
Chia cả hai vế cho 11: $ 3 \cdot 11 = m^2 \Rightarrow m^2 = 33 $.
Vì 33 không phải là số chính phương, $ m = \pm\sqrt{33} $ không phải là số nguyên. Do đó, trường hợp này không có nghiệm.
Trường hợp 2: Cả $ p $ và $ q $ đều không phải là 11.
Khi đó $ p \not\equiv 0 \pmod{11} $ và $ q \not\equiv 0 \pmod{11} $.
Ta có $ p^2 + pq + q^2 \equiv 0 \pmod{11} $.
Để tiện lợi, ta nhân cả hai vế với 4:
$ 4(p^2 + pq + q^2) \equiv 0 \pmod{11} $
$ 4p^2 + 4pq + 4q^2 \equiv 0 \pmod{11} $
Ta có thể viết lại vế trái: $ (4p^2 + 4pq + q^2) + 3q^2 \equiv 0 \pmod{11} $
$ (2p+q)^2 + 3q^2 \equiv 0 \pmod{11} $
$ (2p+q)^2 \equiv -3q^2 \pmod{11} $
Vì $ q \not\equiv 0 \pmod{11} $, ta có thể chia cả hai vế cho $ q^2 $ (vì $ q^2 $ có nghịch đảo modulo 11).
Đặt $ x = (2p+q)q^{-1} \pmod{11} $.
Khi đó $ x^2 \equiv -3 \pmod{11} $.
$ x^2 \equiv 8 \pmod{11} $.
Bây giờ ta kiểm tra các số chính phương modulo 11:
$ 0^2 \equiv 0 $
$ 1^2 \equiv 1 $
$ 2^2 \equiv 4 $
$ 3^2 \equiv 9 $
$ 4^2 = 16 \equiv 5 $
$ 5^2 = 25 \equiv 3 $
Các số chính phương modulo 11 là $ \{0, 1, 3, 4, 5, 9\} $.
Ta thấy 8 không nằm trong tập hợp các số chính phương modulo 11. Điều này có nghĩa là không có số nguyên $ x $ nào thỏa mãn $ x^2 \equiv 8 \pmod{11} $.
Vậy, trường hợp này cũng không có nghiệm.

Vì tất cả các trường hợp đều không cho ra nghiệm, ta kết luận không có cặp số nguyên tố $ (p, q, m) $ nào thỏa mãn phương trình.

Kết luận: Không tồn tại cặp số nguyên tố $ (p, q, m) $ nào thỏa mãn phương trình $ p^2 + pq + q^2 = 11m^2 $.

—

Hy vọng các em đã hiểu rõ các bước giải và phương pháp sử dụng đồng dư thức trong việc tìm nghiệm của các phương trình Diophantine. Chúc các em học tốt!

Trả lời bởi: Giáo viên Chuyên Môn

 · Answer

$02$
a) $4p^3 - q^3 = 41$
$4p^3 - 41 = q^3$
Nếu $p = 2 => q^3 = 4(2)^3 - 41 = -9$ (Loại).
Nếu $p = 3 => q^3 = 4(3)^3 - 41 = 67$ (Loại, kh&ocirc;ng phải số ch&iacute;nh phương hay lập phương).
X&eacute;t $p > 3 => p -= 1$ hoặc $p -= 2 \mod 3 => p^3 -= 1$ hoặc $8 -= 2 \mod 9$.
Thử c&aacute;c số nguy&ecirc;n tố $p$:
Với $p = 5$
$=> q^3 = 4(125) - 41 = 459$ (Loại).
Với $p = 7 $
$=> q^3 = 4(343) - 41 = 1331 = 11^3 => q = 11$.
Thử lại:
$4(7)^3 - 11^3 = 1372 - 1331 = 41$ (TM).
b) $p^3 - 28q^3 = 575$
$p^3 = 28q^3 + 575$
V&igrave; $28q^3 + 575 > 575 => p^3 > 575 => p \ge 9$.
Thử c&aacute;c gi&aacute; trị số nguy&ecirc;n tố $q$:
Với $q = 2 => p^3 = 28(8) + 575 = 799$ (Loại).
Với $q = 3 => p^3 = 28(27) + 575 = 1331 = 11^3 => p = 11$.
Thử lại:
$11^3 - 28(3)^3 = 1331 - 756 = 575$ (TM).
Số ch&iacute;nh phương chia $3$ chỉ c&oacute; thể dư $0$ hoặc $1$.
$=>p^2 \mod 3 \in \{0, 1\} \quad \text{v&agrave;} \quad q^2 \mod 3 \in \{0, 1\}$
Vế phải $3m^2 \vdots 3 => p^2 + q^2 \vdots 3$.
Điều n&agrave;y chỉ xảy ra khi $p^2 \vdots 3$ v&agrave; $q^2 \vdots 3$.
V&igrave; $p, q$ l&agrave; c&aacute;c số nguy&ecirc;n tố $=> p = 3$ v&agrave; $q = 3$.
Thay v&agrave;o phương tr&igrave;nh:
$3^2 + 3^2 = 3m^2$
$18 = 3m^2 => m^2 = 6$(Kh&ocirc;ng tồn tại $m \in \mathbb{N}$)
d) $p^2 + pq + q^2 = 11m^2$
Nếu $p = q = 11 $
$=>11^2 + 11^2 + 11^2 = 363 = 11m^2 => m^2 = 33$ (Loại).
Nếu $p \ne q$:
Ta c&oacute;
$(p - q)(p^2 + pq + q^2) = p^3 - q^3 = 11m^2(p - q)$.
X&eacute;t modulo $11$:
$p^2 + pq + q^2 \vdots 11 $
$=>(2p + q)^2 + 3q^2 \vdots 11$.
V&igrave; $3$ kh&ocirc;ng phải l&agrave; số ch&iacute;nh phương modulo $11$, điều n&agrave;y chỉ xảy ra khi $p \vdots 11$ v&agrave; $q \vdots 11$.
Do $p, q$ l&agrave; số nguy&ecirc;n tố $=> p = 11$ v&agrave; $q = 11$.
Thử lại với $p = 11, q = 11 => m^2 = 33$ (KTM).

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p, q, m) thỏa mãn a) 4p^3 – q^3 = 41 b) p^3 – 2…

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p, q, m) thỏa mãn a) 4p^3 – q^3 = 41 b) p^3 – 2…

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p, q, m) thỏa mãn
a) 4p^3 – q^3 = 41
b) p^3 – 2…

Về tác giả

về tác giả

Thiên Nam

Add comment Hủy

Giao Hàng Nhanh Chóng

Trả Lại Dễ Dàng Và Nhanh Chóng

Hỗ Trợ Khách Hàng 24/7

Thanh Toán An Toàn 100%

Vị trí