Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán hàm số chứa tham số khá thú vị và đòi hỏi sự phân tích cẩn thận. Đây là dạng bài thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi hoặc tuyển sinh đại học, cao đẳng.

Chúng ta bắt đầu nhé!

Đề bài: Cho tham số thực \(m\) và hàm số
\(f_m(x) = (x² − 2x + m)[8(x − 1)² − (5m² − 4m + 16)]\)
Gọi \(S_m\) là tập hợp các số thực x thỏa mãn
\(|f_m(x)| ≤ (5m² − 4m + 16)|x² − 2x + m|\)
Với mỗi \(m\) sao cho \(S_m\) là một đoạn khác rỗng có độ dài hữu hạn, ký hiệu \(L(m)\) là độ dài của \(S_m\)
Biết rằng phương trình
\(L(m) = 2m + 1\)
có đúng hai nghiệm thực \(m_1, m_2\)
Đặt
\(Q = (m_1 + m_2)^2 + 3(m_1m_2)^2 − 7m_1m_2\)
Tính giá trị
\(P = 7475 + Q\).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích bất phương trình và tìm tập hợp \(S_m\).

Bất phương trình đã cho là:
\(|f_m(x)| ≤ (5m² − 4m + 16)|x² − 2x + m|\)

Thay \(f_m(x)\) vào, ta được:
\(| (x² − 2x + m)[8(x − 1)² − (5m² − 4m + 16)] | ≤ (5m² − 4m + 16)|x² − 2x + m|\)

Để đơn giản hóa, chúng ta đặt:
\(A = x² − 2x + m\)
\(B = 8(x − 1)² − (5m² − 4m + 16)\)
\(C = 5m² − 4m + 16\)

Bất phương trình trở thành: \(|A \cdot B| \leq C|A|\)

Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(A = x² − 2x + m = 0\)

Khi đó, bất phương trình trở thành \(|0 \cdot B| \leq C|0|\), tức là \(0 \leq 0\). Điều này luôn đúng.

Vậy, các giá trị \(x\) là nghiệm của phương trình \(x² − 2x + m = 0\) (nếu có) thuộc tập \(S_m\).
Phương trình \(x² − 2x + m = 0\) có nghiệm thực khi và chỉ khi \(\Delta’ = (-1)² – 1 \cdot m = 1 – m \geq 0\), tức là \(m \leq 1\).
Các nghiệm là \(x = 1 \pm \sqrt{1 – m}\).

Trường hợp 2: \(A = x² − 2x + m \neq 0\)

Khi đó, ta có thể chia cả hai vế của bất phương trình cho \(|A|\) (là một số dương).
\(|B| \leq C\)
Thay \(B\) và \(C\) vào:
\(|8(x − 1)² − (5m² − 4m + 16)| \leq (5m² − 4m + 16)\)

Để đánh giá \(C\), ta biến đổi \(C = 5m² − 4m + 16\) như sau:
\(C = 5(m² – \frac{4}{5}m) + 16 = 5(m – \frac{2}{5})² – 5(\frac{2}{5})² + 16 = 5(m – \frac{2}{5})² – \frac{4}{5} + 16 = 5(m – \frac{2}{5})² + \frac{76}{5}\).
Vì \(5(m – \frac{2}{5})² \geq 0\), suy ra \(C = 5m² − 4m + 16 \geq \frac{76}{5} > 0\) với mọi \(m\) thực.

Với \(C > 0\), bất phương trình \(|8(x − 1)² − C| \leq C\) tương đương với:
\(-C \leq 8(x − 1)² − C \leq C\)

Cộng \(C\) vào cả ba vế, ta được:
\(0 \leq 8(x − 1)² \leq 2C\)

Bất đẳng thức \(0 \leq 8(x − 1)²\) luôn đúng với mọi \(x\) thực.

Bất đẳng thức \(8(x − 1)² \leq 2C\) tương đương với:
\((x − 1)² \leq \frac{2C}{8} \Leftrightarrow (x − 1)² \leq \frac{C}{4}\)

Đặt \(K = \frac{C}{4} = \frac{5m² − 4m + 16}{4}\). Vì \(C > 0\), nên \(K > 0\).

Bất phương trình trở thành \((x − 1)² \leq K\). Do \(K > 0\), ta có:
\(-\sqrt{K} \leq x – 1 \leq \sqrt{K}\)
\(1 – \sqrt{K} \leq x \leq 1 + \sqrt{K}\)

Vậy, tập hợp các giá trị \(x\) thỏa mãn \(x² − 2x + m \neq 0\) là đoạn \([1 – \sqrt{K}, 1 + \sqrt{K}]\).

Bây giờ, ta cần xác định tập \(S_m\) là hợp của các nghiệm từ Trường hợp 1 và đoạn từ Trường hợp 2.
Theo đề bài, \(S_m\) là một đoạn. Điều này có nghĩa là nếu có các nghiệm \(1 \pm \sqrt{1 – m}\) (khi \(m \leq 1\)), chúng phải nằm trong hoặc tại biên của đoạn \([1 – \sqrt{K}, 1 + \sqrt{K}]\).

Ta kiểm tra điều kiện này: Các nghiệm \(x = 1 \pm \sqrt{1 – m}\) thuộc đoạn \([1 – \sqrt{K}, 1 + \sqrt{K}]\) nếu \(( (1 \pm \sqrt{1 – m}) – 1 )² \leq K\), tức là \((\pm \sqrt{1 – m})² \leq K\).
Điều này có nghĩa là \(1 – m \leq K\).
\(1 – m \leq \frac{5m² − 4m + 16}{4}\)
Nhân cả hai vế với 4:
\(4 – 4m \leq 5m² – 4m + 16\)
\(0 \leq 5m² + 12\)

Bất đẳng thức \(0 \leq 5m² + 12\) luôn đúng với mọi \(m\) thực (vì \(5m² \geq 0\), nên \(5m² + 12 \geq 12 > 0\)).

Điều này khẳng định rằng mọi nghiệm của \(x² − 2x + m = 0\) (nếu có) đều nằm trong đoạn \([1 – \sqrt{K}, 1 + \sqrt{K}]\).
Vì vậy, tập hợp \(S_m\) chính là đoạn \([1 – \sqrt{K}, 1 + \sqrt{K}]\).

Bước 2: Tính độ dài \(L(m)\).

Độ dài của đoạn \(S_m = [1 – \sqrt{K}, 1 + \sqrt{K}]\) là:
\(L(m) = (1 + \sqrt{K}) – (1 – \sqrt{K}) = 2\sqrt{K}\)
Thay \(K = \frac{5m² − 4m + 16}{4}\) vào:
\(L(m) = 2\sqrt{\frac{5m² − 4m + 16}{4}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{5m² − 4m + 16}}{2} = \sqrt{5m² − 4m + 16}\).

Bước 3: Giải phương trình \(L(m) = 2m + 1\).

Ta có phương trình:
\(\sqrt{5m² − 4m + 16} = 2m + 1\)

Điều kiện để phương trình có nghĩa là \(2m + 1 \geq 0\), tức là \(m \geq -\frac{1}{2}\).

Bình phương cả hai vế của phương trình:
\(5m² − 4m + 16 = (2m + 1)²\)
\(5m² − 4m + 16 = 4m² + 4m + 1\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
\(5m² – 4m² – 4m – 4m + 16 – 1 = 0\)
\(m² – 8m + 15 = 0\)

Giải phương trình bậc hai này. Ta có \(\Delta = (-8)² – 4(1)(15) = 64 – 60 = 4\).
Các nghiệm của phương trình là:
\(m = \frac{-(-8) \pm \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{8 \pm 2}{2}\)

Ta được hai nghiệm:
\(m_1 = \frac{8 – 2}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
\(m_2 = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5\)

Kiểm tra điều kiện \(m \geq -\frac{1}{2}\) cho hai nghiệm này:
\(m_1 = 3 \geq -\frac{1}{2}\) (thỏa mãn)
\(m_2 = 5 \geq -\frac{1}{2}\) (thỏa mãn)

Vậy, hai nghiệm thực \(m_1, m_2\) của phương trình là \(3\) và \(5\).

Bước 4: Tính giá trị của \(Q\).

Theo đề bài, \(Q = (m_1 + m_2)^2 + 3(m_1m_2)^2 − 7m_1m_2\).

Với \(m_1 = 3\) và \(m_2 = 5\):
Tổng các nghiệm: \(m_1 + m_2 = 3 + 5 = 8\)
Tích các nghiệm: \(m_1m_2 = 3 \times 5 = 15\)

Thay các giá trị này vào biểu thức của \(Q\):
\(Q = (8)^2 + 3(15)^2 – 7(15)\)
\(Q = 64 + 3(225) – 105\)
\(Q = 64 + 675 – 105\)
\(Q = 739 – 105\)
\(Q = 634\)

Bước 5: Tính giá trị của \(P\).

Theo đề bài, \(P = 7475 + Q\).
\(P = 7475 + 634\)
\(P = 8109\)

Vậy, giá trị cuối cùng của \(P\) là \(8109\).

Hy vọng các em đã nắm rõ các bước giải và phương pháp tư duy để giải quyết bài toán này. Chúc các em học tốt!