Bài toán: Cho hai số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{c}{d}\) (với a,b,c,d ∈ Z, b,d > 0). Chứng minh rằng: \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+d}\) < \(\frac{c}{d}\).

Để chứng minh bất đẳng thức kép này, chúng ta sẽ đi chứng minh từng vế một.

Phần 1: Chứng minh \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+d}\)

Chúng ta sẽ xét hiệu của hai số này:

\(\frac{a+c}{b+d}\) – \(\frac{a}{b}\)

Để trừ hai phân số này, chúng ta cần quy đồng mẫu số:

= \(\frac{(a+c) \cdot b}{(b+d) \cdot b}\) – \(\frac{a \cdot (b+d)}{b \cdot (b+d)}\)

Bây giờ, ta thực hiện phép nhân ở tử số:

= \(\frac{ab + cb}{b(b+d)}\) – \(\frac{ab + ad}{b(b+d)}\)

Gộp hai phân số lại:

= \(\frac{ab + cb – (ab + ad)}{b(b+d)}\)

Phá ngoặc ở tử số:

= \(\frac{ab + cb – ab – ad}{b(b+d)}\)

Rút gọn các hạng tử đồng dạng:

= \(\frac{cb – ad}{b(b+d)}\)

Bây giờ, chúng ta cần xem xét dấu của biểu thức này. Chúng ta có giả thiết là \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{c}{d}\). Vì b > 0 và d > 0, ta có thể nhân chéo hai vế của bất đẳng thức mà không làm đổi chiều:

a.d < c.b

Hay viết lại là:

ad < cb

Từ đây, ta suy ra:

cb – ad > 0

Xét mẫu số của biểu thức hiệu chúng ta đang tính: b(b+d). Vì b > 0 và d > 0, nên b+d > 0. Do đó, mẫu số b(b+d) > 0.

Vậy, biểu thức hiệu của chúng ta có dạng:

\(\frac{cb – ad}{b(b+d)}\) = \(\frac{\text{số dương}}{\text{số dương}}\) > 0

Điều này chứng tỏ:

\(\frac{a+c}{b+d}\) – \(\frac{a}{b}\) > 0

Suy ra:

\(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+d}\) (ĐPCM)

Phần 2: Chứng minh \(\frac{a+c}{b+d}\) < \(\frac{c}{d}\)

Tương tự như Phần 1, chúng ta cũng xét hiệu của hai số này:

\(\frac{c}{d}\) – \(\frac{a+c}{b+d}\)

Quy đồng mẫu số:

= \(\frac{c \cdot (b+d)}{d \cdot (b+d)}\) – \(\frac{(a+c) \cdot d}{d \cdot (b+d)}\)

Thực hiện phép nhân ở tử số:

= \(\frac{cb + cd}{d(b+d)}\) – \(\frac{ad + cd}{d(b+d)}\)

Gộp hai phân số lại:

= \(\frac{cb + cd – (ad + cd)}{d(b+d)}\)

Phá ngoặc ở tử số:

= \(\frac{cb + cd – ad – cd}{d(b+d)}\)

Rút gọn các hạng tử đồng dạng:

= \(\frac{cb – ad}{d(b+d)}\)

Chúng ta đã biết từ giả thiết \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{c}{d}\) (với b > 0, d > 0) dẫn đến ad < cb, hay cb - ad > 0.

Xét mẫu số của biểu thức hiệu này: d(b+d). Vì d > 0 và b+d > 0, nên mẫu số d(b+d) > 0.

Vậy, biểu thức hiệu của chúng ta có dạng:

\(\frac{cb – ad}{d(b+d)}\) = \(\frac{\text{số dương}}{\text{số dương}}\) > 0

Điều này chứng tỏ:

\(\frac{c}{d}\) – \(\frac{a+c}{b+d}\) > 0

Suy ra:

\(\frac{a+c}{b+d}\) < \(\frac{c}{d}\) (ĐPCM)

Kết luận:

Từ hai phần chứng minh trên, chúng ta đã khẳng định được rằng nếu \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{c}{d}\) thì luôn có:

\(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+d}\) < \(\frac{c}{d}\)

Đây là một tính chất rất quan trọng, nó cho thấy rằng phân số mới \(\frac{a+c}{b+d}\) luôn nằm “xen kẽ” giữa hai phân số ban đầu.

Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự để củng cố kiến thức này nhé!