Chào các em học sinh lớp 12 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại và thực hành tính đạo hàm của một hàm số đa thức. Đây là một kiến thức rất cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 của chúng ta.

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số sau:

\(f(x) = x^8 + x^5 + 7x^4 + 3x^9\)

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nhớ lại một số quy tắc tính đạo hàm cơ bản mà chúng ta đã học:

• Quy tắc đạo hàm của tổng/hiệu: Nếu \(f(x) = u(x) \pm v(x)\), thì \(f'(x) = u'(x) \pm v'(x)\). Quy tắc này cho phép chúng ta tính đạo hàm của mỗi số hạng riêng lẻ rồi cộng (hoặc trừ) chúng lại.
• Quy tắc đạo hàm của hàm luỹ thừa: Nếu \(f(x) = x^n\), thì \(f'(x) = n \cdot x^{n-1}\) (với n là một số thực). Đây là quy tắc nền tảng cho các số hạng dạng \(x^n\).
• Quy tắc đạo hàm của hằng số nhân với hàm số: Nếu \(f(x) = c \cdot u(x)\) (với c là hằng số), thì \(f'(x) = c \cdot u'(x)\). Tức là, hằng số được giữ nguyên khi lấy đạo hàm.

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc này vào bài toán cụ thể của chúng ta.

Cho hàm số: \(f(x) = x^8 + x^5 + 7x^4 + 3x^9\)

Để tính đạo hàm \(f'(x)\), chúng ta sẽ tính đạo hàm của từng số hạng một rồi cộng chúng lại theo quy tắc đạo hàm của tổng.

Bước 1: Tính đạo hàm của từng số hạng trong biểu thức

1. Đạo hàm của \(x^8\):
Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm luỹ thừa \((x^n)’ = nx^{n-1}\) với \(n=8\), ta có:
\((x^8)’ = 8 \cdot x^{8-1} = 8x^7\)

2. Đạo hàm của \(x^5\):
Tương tự, áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm luỹ thừa với \(n=5\), ta có:
\((x^5)’ = 5 \cdot x^{5-1} = 5x^4\)

3. Đạo hàm của \(7x^4\):
Ở đây, chúng ta áp dụng cả quy tắc hằng số nhân với hàm số (\(c=7\)) và quy tắc đạo hàm của hàm luỹ thừa (\(u(x)=x^4\)):
\((7x^4)’ = 7 \cdot (x^4)’\)
Vì \((x^4)’ = 4 \cdot x^{4-1} = 4x^3\), nên:
\((7x^4)’ = 7 \cdot (4x^3) = 28x^3\)

4. Đạo hàm của \(3x^9\):
Tương tự, áp dụng quy tắc hằng số nhân với hàm số (\(c=3\)) và quy tắc đạo hàm của hàm luỹ thừa (\(u(x)=x^9\)):
\((3x^9)’ = 3 \cdot (x^9)’\)
Vì \((x^9)’ = 9 \cdot x^{9-1} = 9x^8\), nên:
\((3x^9)’ = 3 \cdot (9x^8) = 27x^8\)

Bước 2: Cộng các đạo hàm của từng số hạng lại để có đạo hàm cuối cùng

Bây giờ, chúng ta sẽ cộng các kết quả vừa tìm được theo quy tắc đạo hàm của tổng:
\(f'(x) = (x^8)’ + (x^5)’ + (7x^4)’ + (3x^9)’\)
\(f'(x) = 8x^7 + 5x^4 + 28x^3 + 27x^8\)

Để kết quả được gọn gàng và dễ nhìn hơn, chúng ta thường sắp xếp các số hạng theo bậc giảm dần của x:

Vậy, đạo hàm của hàm số \(f(x) = x^8 + x^5 + 7x^4 + 3x^9\) là:

\(f'(x) = 27x^8 + 8x^7 + 5x^4 + 28x^3\)

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững hơn cách tính đạo hàm của các hàm đa thức. Hãy luyện tập thêm để thành thạo kiến thức này nhé, vì nó sẽ là nền tảng cho nhiều phần kiến thức quan trọng khác sau này!

Chúc các em học tốt!