Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh một đẳng thức vectơ:

Hình bình hành ABCD. M là điểm bất kì. Chứng minh: \( \vec{MA} – \vec{CM} = \vec{MB} – \vec{DM} \)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các quy tắc của phép toán vectơ, đặc biệt là quy tắc hiệu hai vectơ và tính chất của hình bình hành.

Trước hết, chúng ta cùng phân tích từng vế của đẳng thức.

Vế trái: \( \vec{MA} – \vec{CM} \)

Ta có thể biến đổi \( \vec{CM} \) thành \( – \vec{MC} \).
Vậy, \( \vec{MA} – \vec{CM} = \vec{MA} – (-\vec{MC}) = \vec{MA} + \vec{MC} \).

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét cách sử dụng quy tắc cộng vectơ. Nếu ta muốn cộng \( \vec{MA} \) và \( \vec{MC} \), ta có thể nghĩ đến việc tìm một điểm chung hoặc sử dụng một điểm trung gian.

Tuy nhiên, chúng ta có thể áp dụng một cách tiếp cận khác dựa trên việc đưa về cùng một gốc.
Ta có thể viết lại vế trái bằng cách sử dụng một điểm gốc tùy ý, ví dụ gốc O.
\( \vec{MA} – \vec{CM} = (\vec{OA} – \vec{OM}) – (\vec{OM} – \vec{OC}) \)
\( = \vec{OA} – \vec{OM} – \vec{OM} + \vec{OC} \)
\( = \vec{OA} + \vec{OC} – 2\vec{OM} \)

Bây giờ, chúng ta chuyển sang phân tích vế phải.

Vế phải: \( \vec{MB} – \vec{DM} \)

Tương tự, ta có thể biến đổi \( \vec{DM} \) thành \( – \vec{MD} \).
Vậy, \( \vec{MB} – \vec{DM} = \vec{MB} – (-\vec{MD}) = \vec{MB} + \vec{MD} \).

Sử dụng gốc O, ta có:
\( \vec{MB} – \vec{DM} = (\vec{OB} – \vec{OM}) – (\vec{OM} – \vec{OD}) \)
\( = \vec{OB} – \vec{OM} – \vec{OM} + \vec{OD} \)
\( = \vec{OB} + \vec{OD} – 2\vec{OM} \)

Bây giờ, chúng ta cần so sánh hai biểu thức chúng ta vừa tìm được:
Vế trái: \( \vec{OA} + \vec{OC} – 2\vec{OM} \)
Vế phải: \( \vec{OB} + \vec{OD} – 2\vec{OM} \)

Để hai vế bằng nhau, chúng ta cần chứng minh rằng \( \vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD} \).

Chúng ta hãy quay lại với giả thiết ABCD là hình bình hành.
Trong hình bình hành ABCD, ta có tính chất: \( \vec{AB} = \vec{DC} \) và \( \vec{AD} = \vec{BC} \).
Quan trọng hơn, ta có tính chất về đường chéo: hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Khi đó, I là trung điểm của AC và I cũng là trung điểm của BD.

Sử dụng tính chất trung điểm, ta có:
\( \vec{IA} + \vec{IC} = \vec{0} \) và \( \vec{IB} + \vec{ID} = \vec{0} \).

Bây giờ, chúng ta hãy sử dụng gốc tùy ý O một lần nữa để biểu diễn \( \vec{OA} + \vec{OC} \) và \( \vec{OB} + \vec{OD} \).
Ta biết rằng đối với một điểm I bất kỳ, ta có:
\( \vec{OA} + \vec{OC} = (\vec{OI} + \vec{IA}) + (\vec{OI} + \vec{IC}) \)
\( = 2\vec{OI} + (\vec{IA} + \vec{IC}) \)
Vì \( \vec{IA} + \vec{IC} = \vec{0} \), nên \( \vec{OA} + \vec{OC} = 2\vec{OI} \).

Tương tự,
\( \vec{OB} + \vec{OD} = (\vec{OI} + \vec{IB}) + (\vec{OI} + \vec{ID}) \)
\( = 2\vec{OI} + (\vec{IB} + \vec{ID}) \)
Vì \( \vec{IB} + \vec{ID} = \vec{0} \), nên \( \vec{OB} + \vec{OD} = 2\vec{OI} \).

Từ đây, ta thấy \( \vec{OA} + \vec{OC} = 2\vec{OI} \) và \( \vec{OB} + \vec{OD} = 2\vec{OI} \).
Do đó, \( \vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD} \).

Vì \( \vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD} \), nên khi trừ đi \( 2\vec{OM} \) từ cả hai vế, ta vẫn có:
\( \vec{OA} + \vec{OC} – 2\vec{OM} = \vec{OB} + \vec{OD} – 2\vec{OM} \).

Điều này chứng tỏ:
\( \vec{MA} – \vec{CM} = \vec{MB} – \vec{DM} \).

Một cách chứng minh khác, ngắn gọn hơn:

Chúng ta sẽ sử dụng quy tắc hiệu hai vectơ và tính chất của hình bình hành để biến đổi từng vế.

Vế trái: \( \vec{MA} – \vec{CM} \)

Ta có thể viết lại biểu thức này bằng cách sử dụng quy tắc hiệu: \( \vec{u} – \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) = \vec{u} + \vec{v’} \) với \( \vec{v’} \) là vectơ đối của \( \vec{v} \).
\( \vec{MA} – \vec{CM} = \vec{MA} + \vec{MC} \)

Bây giờ, chúng ta hãy đưa về cùng một gốc.
Chúng ta có thể chọn điểm M làm gốc hoặc chọn một điểm bất kỳ.

Hãy chọn điểm M làm gốc để xem xét.
Nếu ta dùng quy tắc cộng vectơ với M làm điểm cuối cho vectơ thứ nhất và điểm đầu cho vectơ thứ hai thì sẽ không phù hợp.

Chúng ta hãy sử dụng quy tắc trừ vectơ: \( \vec{XY} – \vec{XZ} = \vec{ZY} \) hoặc \( \vec{XA} – \vec{XB} = \vec{BA} \).

Xem xét vế trái: \( \vec{MA} – \vec{CM} \)
Ta có thể sử dụng quy tắc trừ vectơ bằng cách đưa về cùng một gốc.
\( \vec{MA} – \vec{CM} = (\vec{OA} – \vec{OM}) – (\vec{OC} – \vec{OM}) \) (Với O là một gốc tùy ý)
\( = \vec{OA} – \vec{OM} – \vec{OC} + \vec{OM} \)
\( = \vec{OA} – \vec{OC} \)

Tuy nhiên, cách này không dùng trực tiếp giả thiết hình bình hành ngay từ đầu.

Chúng ta hãy quay lại \( \vec{MA} – \vec{CM} = \vec{MA} + \vec{MC} \).
Trong hình bình hành ABCD, ta có \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} \).

Bây giờ, hãy thử biến đổi vế phải: \( \vec{MB} – \vec{DM} = \vec{MB} + \vec{MD} \).

Chúng ta cần chứng minh \( \vec{MA} + \vec{MC} = \vec{MB} + \vec{MD} \).

Điều này tương đương với \( \vec{MA} – \vec{MB} = \vec{MD} – \vec{MC} \).
Sử dụng quy tắc trừ vectơ: \( \vec{BA} = \vec{CD} \).

Đây là một tính chất quan trọng của hình bình hành: Tổng hai vectơ xuất phát từ một điểm và có hai cạnh là hai vectơ nối điểm đó với hai đỉnh kề của hình bình hành bằng vectơ đường chéo.

Thật vậy, ta có:
\( \vec{MA} + \vec{MC} \)
Chọn gốc là điểm A:
\( \vec{MA} = \vec{0} \)
\( \vec{MC} = \vec{AC} – \vec{AM} = \vec{AC} \) (Do \( \vec{AM} = \vec{0} \))
Vậy \( \vec{MA} + \vec{MC} = \vec{AC} \).

Chọn gốc là điểm B:
\( \vec{MB} = \vec{0} \)
\( \vec{MD} = \vec{BD} – \vec{BM} = \vec{BD} \) (Do \( \vec{BM} = \vec{0} \))
Vậy \( \vec{MB} + \vec{MD} = \vec{BD} \).

Chúng ta cần chứng minh \( \vec{AC} = \vec{BD} \), điều này không đúng trong mọi trường hợp hình bình hành.

Chúng ta hãy quay lại cách sử dụng điểm gốc O.
Vế trái: \( \vec{MA} – \vec{CM} = (\vec{OA} – \vec{OM}) – (\vec{OM} – \vec{OC}) = \vec{OA} + \vec{OC} – 2\vec{OM} \).
Vế phải: \( \vec{MB} – \vec{DM} = (\vec{OB} – \vec{OM}) – (\vec{OM} – \vec{OD}) = \vec{OB} + \vec{OD} – 2\vec{OM} \).

Để hai vế bằng nhau, ta cần chứng minh \( \vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD} \).

Sử dụng tính chất hình bình hành ABCD, ta có:
\( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} \)
\( \vec{BD} = \vec{AD} – \vec{AB} \)

Ta cần chứng minh \( \vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD} \).

Hãy thử biến đổi như sau:
\( \vec{MA} – \vec{CM} = \vec{MA} + \vec{MC} \)
\( \vec{MB} – \vec{DM} = \vec{MB} + \vec{MD} \)

Ta cần chứng minh \( \vec{MA} + \vec{MC} = \vec{MB} + \vec{MD} \).
Chuyển vế:
\( \vec{MA} – \vec{MB} + \vec{MC} – \vec{MD} = \vec{0} \)
\( \vec{BA} + \vec{DC} = \vec{0} \)

Vì ABCD là hình bình hành, ta có \( \vec{AB} = \vec{DC} \).
Do đó \( \vec{BA} = – \vec{AB} \) và \( \vec{DC} = – \vec{CD} \).
Vậy \( \vec{BA} + \vec{DC} = – \vec{AB} – \vec{CD} \).

Điều này chưa ra kết quả \( \vec{0} \). Chúng ta cần xem lại bước chuyển vế.

Ta cần chứng minh \( \vec{MA} + \vec{MC} = \vec{MB} + \vec{MD} \).
Chuyển tất cả các vectơ sang một vế:
\( (\vec{MA} – \vec{MB}) + (\vec{MC} – \vec{MD}) = \vec{0} \)

Áp dụng quy tắc trừ vectơ:
\( \vec{BA} + \vec{DB} = \vec{0} \)

Điều này có đúng không?
\( \vec{BA} + \vec{DB} = \vec{BA} – \vec{BD} \).

Chúng ta hãy xem lại \( \vec{MC} – \vec{MD} \).
\( \vec{MC} – \vec{MD} = \vec{DC} \).

Vậy, đẳng thức trở thành:
\( \vec{BA} + \vec{DC} = \vec{0} \).

Vì ABCD là hình bình hành, ta có \( \vec{AB} = \vec{DC} \).
Do đó, \( \vec{BA} = – \vec{AB} \) và \( \vec{DC} = \vec{AB} \).
Vậy \( \vec{BA} + \vec{DC} = – \vec{AB} + \vec{AB} = \vec{0} \).

Điều này chứng tỏ đẳng thức ban đầu là đúng.

Trình bày lời giải chi tiết:

Ta cần chứng minh \( \vec{MA} – \vec{CM} = \vec{MB} – \vec{DM} \).

Biến đổi vế trái:
\( \vec{MA} – \vec{CM} = \vec{MA} + (-\vec{CM}) \)
\( = \vec{MA} + \vec{MC} \)

Biến đổi vế phải:
\( \vec{MB} – \vec{DM} = \vec{MB} + (-\vec{DM}) \)
\( = \vec{MB} + \vec{MD} \)

Bây giờ, chúng ta cần chứng minh:
\( \vec{MA} + \vec{MC} = \vec{MB} + \vec{MD} \)

Chuyển tất cả các vectơ về một vế:
\( (\vec{MA} – \vec{MB}) + (\vec{MC} – \vec{MD}) = \vec{0} \)

Áp dụng quy tắc trừ hai vectơ (\( \vec{XY} – \vec{XZ} = \vec{ZY} \) hoặc \( \vec{XA} – \vec{XB} = \vec{BA} \)):
Ta có:
\( \vec{MA} – \vec{MB} = \vec{BA} \)
\( \vec{MC} – \vec{MD} = \vec{DC} \)

Thay thế vào biểu thức trên:
\( \vec{BA} + \vec{DC} = \vec{0} \)

Vì ABCD là hình bình hành, theo định nghĩa của hình bình hành, ta có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
Do đó, \( \vec{AB} = \vec{DC} \).
Và \( \vec{BA} = – \vec{AB} \).

Thay \( \vec{DC} \) bằng \( \vec{AB} \):
\( \vec{BA} + \vec{AB} = \vec{0} \)

Hoặc thay \( \vec{BA} \) bằng \( – \vec{AB} \):
\( -\vec{AB} + \vec{DC} = \vec{0} \)

Vì \( \vec{AB} = \vec{DC} \), nên \( -\vec{AB} + \vec{AB} = \vec{0} \).
Hoặc \( \vec{BA} + \vec{AB} = \vec{0} \).

Đẳng thức \( \vec{BA} + \vec{DC} = \vec{0} \) đã được chứng minh.

Do đó, \( \vec{MA} – \vec{CM} = \vec{MB} – \vec{DM} \) được chứng minh.

Các em thấy đó, bằng việc biến đổi khéo léo các quy tắc của phép toán vectơ và sử dụng tính chất của hình bình hành, chúng ta đã giải quyết được bài toán này một cách dễ dàng.

Chúc các em học tốt!