Chào các em học sinh!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về vectơ trong hình học phẳng. Đây là một dạng bài rất hay giúp chúng ta củng cố kiến thức về phép cộng, trừ vectơ và tính chất trung điểm.

Đề bài:

Cho tứ giác lồi ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng: \((\vec{AB}) – (\vec{DC}) = 2(\vec{MN})\).

—

Phân tích và hướng giải:

Để chứng minh một đẳng thức vectơ, chúng ta thường có các cách tiếp cận sau:

1. Biến đổi vế trái thành vế phải.
2. Biến đổi vế phải thành vế trái.
3. Biến đổi cả hai vế về cùng một biểu thức trung gian.
4. Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là đúng (ví dụ: \(\vec{0} = \vec{0}\)).

Trong bài toán này, vì vế phải có chứa vectơ \(\vec{MN}\) (liên quan đến trung điểm M, N), chúng ta sẽ thấy thuận tiện hơn khi xuất phát từ vế phải và biến đổi về vế trái. Việc sử dụng một điểm gốc O (tùy ý) để biểu diễn các vectơ liên quan đến trung điểm thường rất hiệu quả.

Các công thức vectơ quan trọng chúng ta sẽ sử dụng:

• Quy tắc ba điểm (phép trừ vectơ): Với ba điểm A, B, O bất kỳ, ta có \(\vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA}\). Đây là cách để chúng ta biểu diễn một vectơ theo các vectơ vị trí từ một gốc O.
• Công thức vectơ trung điểm: Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB và O là một điểm bất kỳ, thì \(\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})\).
• Vectơ đối: \(\vec{AB} = -\vec{BA}\).

—

Lời giải chi tiết:

Chúng ta sẽ chọn một điểm O bất kỳ làm gốc để biểu diễn các vectơ. Điểm O này có thể là bất kỳ điểm nào trong mặt phẳng, ví dụ như gốc tọa độ hoặc một đỉnh của tứ giác, nhưng để tổng quát, ta coi nó là một điểm ngoài.
Khi đó, các vectơ \(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}, \vec{OD}\) sẽ là các vectơ vị trí của các điểm A, B, C, D so với gốc O.

Bước 1: Biểu diễn vectơ \(\vec{MN}\) theo các vectơ vị trí \(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}, \vec{OD}\).
Theo quy tắc ba điểm, ta có:
\(\vec{MN} = \vec{ON} – \vec{OM}\) (1)

Vì M là trung điểm của AC, áp dụng công thức vectơ trung điểm ta có:

\(\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})\) (2)

Vì N là trung điểm của BD, áp dụng công thức vectơ trung điểm ta có:

\(\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD})\) (3)

Thay các biểu thức của \(\vec{ON}\) (từ (3)) và \(\vec{OM}\) (từ (2)) vào biểu thức của \(\vec{MN}\) (từ (1)), ta được:

\(\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD}) – \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})\)
\(\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD} – \vec{OA} – \vec{OC})\)

Để thuận tiện cho việc biến đổi, chúng ta nhân cả hai vế với 2:

\(2\vec{MN} = \vec{OB} + \vec{OD} – \vec{OA} – \vec{OC}\) (4)

Bước 2: Biến đổi biểu thức \(2\vec{MN}\) để khớp với vế trái của đẳng thức cần chứng minh.
Vế trái của đẳng thức cần chứng minh là \(\vec{AB} – \vec{DC}\). Chúng ta cần làm xuất hiện các vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{DC}\) từ biểu thức (4).

Hãy sắp xếp lại các hạng tử trong biểu thức (4) một cách hợp lý:

\(2\vec{MN} = (\vec{OB} – \vec{OA}) + (\vec{OD} – \vec{OC})\)

Bây giờ, chúng ta áp dụng quy tắc ba điểm (phép trừ vectơ) một lần nữa:

\(\vec{OB} – \vec{OA} = \vec{AB}\) (Đây chính là vectơ \(\vec{AB}\) mà chúng ta cần).

\(\vec{OD} – \vec{OC} = \vec{CD}\) (Chúng ta cần \(\vec{DC}\), vậy có sự liên hệ ở đây).

Thay các biểu thức này vào đẳng thức trên, ta có:

\(2\vec{MN} = \vec{AB} + \vec{CD}\) (5)

Bước 3: Đối chiếu với đẳng thức cần chứng minh.
Đẳng thức chúng ta cần chứng minh là \(\vec{AB} – \vec{DC} = 2\vec{MN}\).

Chúng ta vừa biến đổi được \(2\vec{MN} = \vec{AB} + \vec{CD}\).

Chúng ta nhớ rằng, vectơ \(\vec{CD}\) và \(\vec{DC}\) là hai vectơ đối nhau, nghĩa là \(\vec{CD} = -\vec{DC}\).

Thay \(\vec{CD} = -\vec{DC}\) vào biểu thức (5), ta được:

\(2\vec{MN} = \vec{AB} + (-\vec{DC})\)

\(\mathbf{2\vec{MN} = \vec{AB} – \vec{DC}}\)

Đây chính là điều chúng ta cần chứng minh!

—

Kết luận:

Vậy là chúng ta đã chứng minh được đẳng thức vectơ \(\vec{AB} – \vec{DC} = 2\vec{MN}\) một cách chi tiết. Qua bài này, các em đã ôn lại cách sử dụng quy tắc ba điểm và công thức vectơ trung điểm để giải quyết các bài toán chứng minh đẳng thức vectơ. Việc lựa chọn một gốc O tùy ý là một kỹ thuật mạnh mẽ trong các bài toán về vectơ.

Chúc các em học tốt!