Chào các em học sinh lớp 11 thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải quyết một bài tập thú vị liên quan đến các hàm số lượng giác. Bài toán này sẽ giúp chúng ta ôn lại các kiến thức quan trọng về công thức lượng giác cơ bản, tính chẵn lẻ của hàm số, và cách biện luận số nghiệm của phương trình lượng giác. Nào, chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài 4: Cho hàm số \({f ( x ) = {a \sin x + b \sin ( – x )}/{ c \cos x + d \cos ( – x )}}\) với \(a , b , c , d \in R .\)

a) Rút gọn \(f (x)\)

Để rút gọn biểu thức của hàm số \(f(x)\), chúng ta cần nhớ lại các công thức lượng giác cơ bản sau đây:

• \(\sin(-x) = -\sin x\) (hàm sin là hàm lẻ)
• \(\cos(-x) = \cos x\) (hàm cos là hàm chẵn)

Áp dụng các công thức này vào biểu thức của \(f(x)\), ta có:

\(f(x) = {a \sin x + b \sin ( – x )}/{ c \cos x + d \cos ( – x )}\)

\(f(x) = {a \sin x + b ( – \sin x )}/{ c \cos x + d ( \cos x )}\)

\(f(x) = {a \sin x – b \sin x}/{ c \cos x + d \cos x}\)

Tiếp theo, chúng ta nhóm các nhân tử chung ở tử số và mẫu số:

\(f(x) = {(a – b) \sin x}/{(c + d) \cos x}\)

Để hàm số \(f(x)\) được xác định, mẫu số phải khác 0. Điều này có nghĩa là \((c + d) \cos x \neq 0\). Từ đó suy ra \(c + d \neq 0\) và \(\cos x \neq 0\).

Nếu \((c + d) \neq 0\) và \(\cos x \neq 0\), ta có thể viết lại biểu thức trên như sau:

\(f(x) = {(a – b)}/{(c + d)} \cdot {\sin x}/{\cos x}\)

Vì \(\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x\), nên biểu thức rút gọn cuối cùng của \(f(x)\) là:

\(f(x) = {(a – b)}/{(c + d)} \tan x\)

Điều kiện xác định: \(\cos x \neq 0\), tức là \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in Z\). Ngoài ra, để biểu thức có nghĩa, ta cần \((c+d) \neq 0\).

b) Tìm điều kiện của a,b,c,d để f là hàm lẻ.

Nhắc lại định nghĩa hàm lẻ:

Một hàm số \(f(x)\) được gọi là hàm lẻ nếu với mọi \(x\) thuộc tập xác định \(D\), thì \(-x\) cũng thuộc \(D\), và \(f(-x) = -f(x)\).

Tập xác định của hàm số \(f(x) = {(a – b)}/{(c + d)} \tan x\) là \(D = R \setminus \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in Z \}\) (với điều kiện \((c+d) \neq 0\)). Tập này đối xứng qua gốc tọa độ (tức là nếu \(x \in D\) thì \(-x \in D\)).

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra điều kiện \(f(-x) = -f(x)\).

Chúng ta đã biết \(\tan(-x) = -\tan x\).

Thay \(-x\) vào biểu thức rút gọn của \(f(x)\), ta có:

\(f(-x) = {(a – b)}/{(c + d)} \tan(-x)\)

\(f(-x) = {(a – b)}/{(c + d)} (-\tan x)\)

\(f(-x) = -{(a – b)}/{(c + d)} \tan x\)

Mặt khác, \(-f(x)\) là:

\(-f(x) = – ({(a – b)}/{(c + d)} \tan x)\)

\(-f(x) = -{(a – b)}/{(c + d)} \tan x\)

Chúng ta thấy rằng \(f(-x) = -f(x)\) luôn đúng với mọi \(x\) thuộc tập xác định của hàm số \(f(x) = {(a – b)}/{(c + d)} \tan x\).

Vậy, điều kiện để \(f\) là hàm lẻ là \((c+d) \neq 0\) (để hàm số được xác định). Các hệ số \(a,b,c,d\) là số thực theo đề bài.

c) Tìm điều kiện để f là hàm chẵn.

Nhắc lại định nghĩa hàm chẵn:

Một hàm số \(f(x)\) được gọi là hàm chẵn nếu với mọi \(x\) thuộc tập xác định \(D\), thì \(-x\) cũng thuộc \(D\), và \(f(-x) = f(x)\).

Từ phần b), chúng ta đã tính được \(f(-x) = -{(a – b)}/{(c + d)} \tan x\).

Và \(f(x) = {(a – b)}/{(c + d)} \tan x\).

Để \(f\) là hàm chẵn, ta cần \(f(-x) = f(x)\), tức là:

\(-{(a – b)}/{(c + d)} \tan x = {(a – b)}/{(c + d)} \tan x\)

Chuyển vế, ta được:

\(2 \cdot {(a – b)}/{(c + d)} \tan x = 0\)

Để phương trình này đúng với mọi \(x\) thuộc tập xác định của \(f\), hệ số của \(\tan x\) phải bằng 0. (Vì \(\tan x\) không luôn bằng 0 trên tập xác định).

Tức là \({(a – b)}/{(c + d)} = 0\).

Để phân số này bằng 0, tử số phải bằng 0 và mẫu số phải khác 0.

Vậy, điều kiện để \(f\) là hàm chẵn là \(a – b = 0\) (hay \(a=b\)) và \((c + d) \neq 0\).

Khi \(a=b\), thì \(f(x) = {0}/{(c+d)} \tan x = 0\). Đây là hàm hằng \(f(x)=0\). Hàm hằng \(f(x)=0\) là một hàm số vừa chẵn vừa lẻ.

d) Với điều kiện \(a+b≠0, c+d≠0\), chứng minh rằng bài toán có thể đưa về dạng \(f(x) = K \tan x\)

Ở phần a), chúng ta đã thực hiện việc rút gọn hàm số \(f(x)\) và thu được kết quả là:

\(f(x) = {(a – b)}/{(c + d)} \tan x\)

Với điều kiện đã cho là \((c+d) \neq 0\), ta có thể đặt một hằng số \(K\) như sau:

\(K = {(a – b)}/{(c + d)}\)

Vì \(a, b, c, d \in R\) và \(c+d \neq 0\), thì \(K\) là một hằng số thực xác định.

Khi đó, hàm số \(f(x)\) có thể được viết lại dưới dạng:

\(f(x) = K \tan x\)

Điều kiện \(a+b \neq 0\) là một điều kiện bổ sung của đề bài. Nó đảm bảo rằng không đồng thời \(a=0\) và \(b=0\). Tuy nhiên, điều kiện này không ảnh hưởng trực tiếp đến việc biến đổi \(f(x)\) về dạng \(K \tan x\). Chỉ cần \((c+d) \neq 0\) là đủ để \(K\) được xác định và biểu thức có dạng \(K \tan x\).

đ) Từ đó biện luận số nghiệm của \(f(x)=m\).

Từ phần d), chúng ta đã đưa được hàm số về dạng \(f(x) = K \tan x\), với \(K = {(a – b)}/{(c + d)}\).

Phương trình cần giải là \(K \tan x = m\).

Trước hết, điều kiện để hàm số \(f(x)\) xác định là \((c+d) \neq 0\) và \(\cos x \neq 0\) (tức \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in Z\)).

Chúng ta sẽ xét hai trường hợp của \(K\):

Trường hợp 1: \(K = 0\)

Điều này xảy ra khi \(a – b = 0\) (tức \(a = b\)) và \((c+d) \neq 0\).

Khi đó, phương trình trở thành \(0 \cdot \tan x = m\).

• Nếu \(m = 0\): Phương trình trở thành \(0 = 0\). Phương trình này đúng với mọi \(x\) thuộc tập xác định của \(\tan x\).
  
  Vậy, phương trình có vô số nghiệm: \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in Z\).
• Nếu \(m \neq 0\): Phương trình trở thành \(0 = m\). Đây là một điều vô lý.
  
  Vậy, phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: \(K \neq 0\)

Điều này xảy ra khi \(a – b \neq 0\) và \((c+d) \neq 0\).

Khi đó, phương trình \(K \tan x = m\) có thể được viết lại thành:

\(\tan x = {m}/{K}\)

Đặt \({m}/{K} = A\), ta có phương trình \(\tan x = A\).

Đây là một phương trình lượng giác cơ bản. Hàm \(\tan x\) có tập giá trị là \((-\infty, +\infty)\), nghĩa là với mọi giá trị thực \(A\), phương trình \(\tan x = A\) luôn có nghiệm.

Công thức nghiệm của \(\tan x = A\) là \(x = \arctan(A) + k\pi\), với \(k \in Z\).

Vậy, trong trường hợp này, phương trình luôn có vô số nghiệm.

Tóm tắt kết quả biện luận:

Với điều kiện \((c+d) \neq 0\) để hàm số xác định:

• Nếu \(a=b\) (tức \(K=0\)):
  • Nếu \(m=0\): Phương trình có vô số nghiệm (tất cả các giá trị \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in Z\)).
  • Nếu \(m \neq 0\): Phương trình vô nghiệm.
• Nếu \(a \neq b\) (tức \(K \neq 0\)):
  • Phương trình \(\tan x = {m}/{K}\) luôn có vô số nghiệm \(x = \arctan\left(\frac{m}{K}\right) + k\pi, k \in Z\).

Các em lưu ý rằng điều kiện \(a+b \neq 0\) trong phần d) của đề bài là một điều kiện phụ, nó không ảnh hưởng đến quá trình biện luận số nghiệm của \(f(x)=m\) sau khi đã đưa về dạng \(K \tan x\), mà chỉ giới hạn các trường hợp của \(a\) và \(b\) ban đầu.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách xử lý các bài toán liên quan đến hàm số lượng giác, từ rút gọn, xét tính chẵn lẻ đến biện luận số nghiệm của phương trình. Hãy luyện tập thêm để thành thạo các dạng bài tập này nhé!

Chúc các em học tốt!