Xin chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau “giải mã” một bài toán thú vị về việc tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức. Dạng bài này thường đòi hỏi chúng ta phải nắm vững kiến thức về lũy thừa, giá trị tuyệt đối, và cách đánh giá một biểu thức.

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

\(A = (2x – 5)² – (15 – 6x)² – |x – y – 1| + 2024\)

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này từng bước nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích cấu trúc của biểu thức \(A\).

Biểu thức \(A\) có dạng:

\(A = \underbrace{(2x – 5)²}_{\text{số hạng 1}} – \underbrace{(15 – 6x)²}_{\text{số hạng 2}} – \underbrace{|x – y – 1|}_{\text{số hạng 3}} + \underbrace{2024}_{\text{hằng số}}\)

Để tìm giá trị lớn nhất của \(A\), chúng ta cần làm cho các số hạng làm giảm giá trị của \(A\) trở nên nhỏ nhất có thể (tức là gần về 0 nhất), và các số hạng làm tăng giá trị của \(A\) trở nên lớn nhất có thể.

Bước 2: Rút gọn các số hạng chứa biến \(x\).

Chúng ta nhận thấy hai số hạng đầu tiên \((2x – 5)²\) và \((15 – 6x)²\) có mối liên hệ đặc biệt. Hãy thử biến đổi số hạng thứ hai:

\((15 – 6x)²\)

Ta có thể đặt thừa số chung ra ngoài:

\(15 – 6x = 3 \cdot 5 – 3 \cdot 2x = 3(5 – 2x)\)

Vậy, \((15 – 6x)² = (3(5 – 2x))² = 3² \cdot (5 – 2x)² = 9 \cdot (5 – 2x)²\)

Bây giờ, hãy để ý rằng \((5 – 2x)²\) chính là \((-(2x – 5))²\). Và chúng ta biết rằng, khi bình phương một số âm, kết quả sẽ là một số dương, giống như bình phương số đối của nó. Tức là \((-a)² = a²\).

Do đó, \((5 – 2x)² = (2x – 5)²\)

Thay thế vào, ta được:

\((15 – 6x)² = 9 \cdot (2x – 5)²\)

Bây giờ, chúng ta thay kết quả này vào biểu thức \(A\):

\(A = (2x – 5)² – 9 \cdot (2x – 5)² – |x – y – 1| + 2024\)

Chúng ta thấy có nhân tử chung là \((2x – 5)²\). Hãy nhóm chúng lại:

\(A = (1 – 9) \cdot (2x – 5)² – |x – y – 1| + 2024\)

\(A = -8 \cdot (2x – 5)² – |x – y – 1| + 2024\)

Bước 3: Đánh giá các số hạng để tìm giá trị lớn nhất.

Biểu thức của chúng ta đã được rút gọn thành:

\(A = -8(2x – 5)² – |x – y – 1| + 2024\)

Để \(A\) đạt giá trị lớn nhất, chúng ta cần xem xét từng số hạng biến:

1. Số hạng \(-8(2x – 5)²\):

   Chúng ta biết rằng bình phương của một số thực luôn không âm, tức là \((2x – 5)² \ge 0\).

   Khi nhân với \(-8\) (một số âm), thì \(-8(2x – 5)² \le 0\).

   Để số hạng này đạt giá trị lớn nhất (tức là gần 0 nhất), thì \((2x – 5)²\) phải bằng 0.

   Điều này xảy ra khi \(2x – 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2}\).

2. Số hạng \(-|x – y – 1|\):

   Giá trị tuyệt đối của một số thực luôn không âm, tức là \(|x – y – 1| \ge 0\).

   Khi nhân với \(-1\), thì \(-|x – y – 1| \le 0\).

   Để số hạng này đạt giá trị lớn nhất (tức là gần 0 nhất), thì \(|x – y – 1|\) phải bằng 0.

   Điều này xảy ra khi \(x – y – 1 = 0\).

Bước 4: Xác định điều kiện để \(A\) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó.

Để \(A\) đạt giá trị lớn nhất, cả hai điều kiện trên phải đồng thời xảy ra:

• \(2x – 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}\)

• \(x – y – 1 = 0\)

Thay \(x = \frac{5}{2}\) vào điều kiện thứ hai:

\(\frac{5}{2} – y – 1 = 0\)

\(\frac{5}{2} – \frac{2}{2} – y = 0\)

\(\frac{3}{2} – y = 0\)

\(y = \frac{3}{2}\)

Vậy, khi \(x = \frac{5}{2}\) và \(y = \frac{3}{2}\), các số hạng biến sẽ đạt giá trị lớn nhất (bằng 0):

• \(-8(2x – 5)² = -8(0)² = 0\)
• \(-|x – y – 1| = -|0| = 0\)

Khi đó, giá trị của \(A\) sẽ là:

\(A_{max} = 0 + 0 + 2024\)

\(A_{max} = 2024\)

Kết luận:

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là 2024, đạt được khi \(x = \frac{5}{2}\) và \(y = \frac{3}{2}\).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức. Hãy luyện tập thêm để nắm vững dạng toán này nhé!