tính nhanh giá trị của bt
a)A=x^2+0,2x+0,01 tại x=19,9
b)B=x^3+3x^2 +3x tại 99
a)A=x^2+0,2x+0,01 tại x=19,9
b)B=x^3+3x^2 +3x tại 99
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán “tính nhanh” giá trị của biểu thức. Đây là dạng bài rất hay, giúp chúng ta rèn luyện khả năng quan sát, nhận diện hằng đẳng thức đáng nhớ và tính toán một cách thông minh, tránh những phép tính phức tạp.
Chúng ta bắt đầu nhé!
Bài toán: Tính nhanh giá trị của biểu thức
a) \(A = x^2 + 0,2x + 0,01\) tại \(x = 19,9\)
b) \(B = x^3 + 3x^2 + 3x\) tại \(x = 99\)
Lời giải chi tiết:
a) Tính giá trị của biểu thức \(A = x^2 + 0,2x + 0,01\) tại \(x = 19,9\)
Bước 1: Phân tích biểu thức A
Quan sát biểu thức \(A = x^2 + 0,2x + 0,01\), chúng ta thấy các thành phần của nó có dạng rất giống một hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học: bình phương của một tổng.
Nhắc lại hằng đẳng thức: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
Bây giờ, chúng ta hãy thử biến đổi biểu thức A để khớp với dạng này:
- Số hạng đầu tiên là \(x^2\), vậy ta có thể coi \(a = x\).
- Số hạng cuối cùng là \(0,01\). Chúng ta biết rằng \(0,01 = (0,1)^2\). Vậy ta có thể coi \(b = 0,1\).
- Bây giờ, hãy kiểm tra số hạng ở giữa: \(2ab\). Theo giả định của chúng ta, \(2ab = 2 \cdot x \cdot 0,1 = 0,2x\).
Ôi, thật trùng khớp! Số hạng ở giữa của biểu thức A chính xác là \(0,2x\).
Bước 2: Rút gọn biểu thức A bằng hằng đẳng thức
Vì vậy, chúng ta có thể viết lại biểu thức A như sau:
\(A = x^2 + 0,2x + 0,01\)
\(A = x^2 + 2 \cdot x \cdot 0,1 + (0,1)^2\)
Theo hằng đẳng thức bình phương của một tổng, ta được:
\(A = (x + 0,1)^2\)
Bước 3: Thay giá trị của x vào biểu thức đã rút gọn và tính toán
Đề bài cho \(x = 19,9\). Bây giờ chúng ta sẽ thay giá trị này vào biểu thức A đã được rút gọn:
\(A = (19,9 + 0,1)^2\)
Thực hiện phép cộng trong ngoặc:
\(A = (20)^2\)
Và cuối cùng, tính bình phương:
\(A = 400\)
Vậy, giá trị của biểu thức A là \(400\).
b) Tính giá trị của biểu thức \(B = x^3 + 3x^2 + 3x\) tại \(x = 99\)
Bước 1: Phân tích biểu thức B
Tương tự như câu a, nếu chúng ta thay thẳng \(x = 99\) vào biểu thức \(B = x^3 + 3x^2 + 3x\), chúng ta sẽ phải tính \(99^3\), \(3 \cdot 99^2\), \(3 \cdot 99\), những con số rất lớn và phức tạp. “Tính nhanh” có nghĩa là chúng ta phải tìm cách khác!
Biểu thức \(B = x^3 + 3x^2 + 3x\) gợi cho chúng ta nhớ đến hằng đẳng thức lập phương của một tổng:
\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
Hãy so sánh biểu thức B với vế phải của hằng đẳng thức này:
- Chúng ta có \(x^3\), vậy có thể coi \(a = x\).
- Chúng ta có \(3x^2\). Nếu \(a = x\), thì \(3a^2b = 3x^2b\). Để \(3x^2b = 3x^2\), thì \(b\) phải bằng \(1\).
- Bây giờ, hãy kiểm tra số hạng tiếp theo: \(3ab^2\). Với \(a = x\) và \(b = 1\), thì \(3ab^2 = 3 \cdot x \cdot (1)^2 = 3x\).
Đến đây, chúng ta thấy biểu thức B bao gồm \(x^3 + 3x^2 + 3x\), rất giống với ba số hạng đầu tiên của \((x+1)^3\).
Cụ thể, \((x+1)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 1 + 3x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1\).
Chúng ta thấy biểu thức B thiếu số hạng \(+1\).
Bước 2: Rút gọn biểu thức B bằng hằng đẳng thức
Chúng ta có thể viết lại biểu thức B như sau:
\(B = x^3 + 3x^2 + 3x\)
Để xuất hiện hằng đẳng thức \((x+1)^3\), chúng ta cần thêm \(+1\) vào biểu thức, và sau đó trừ đi \(1\) để không làm thay đổi giá trị của biểu thức:
\(B = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) – 1\)
Phần trong ngoặc chính là hằng đẳng thức \((x+1)^3\):
\(B = (x + 1)^3 – 1\)
Bước 3: Thay giá trị của x vào biểu thức đã rút gọn và tính toán
Đề bài cho \(x = 99\). Bây giờ chúng ta sẽ thay giá trị này vào biểu thức B đã được rút gọn:
\(B = (99 + 1)^3 – 1\)
Thực hiện phép cộng trong ngoặc:
\(B = (100)^3 – 1\)
Tính lập phương của \(100\):
\(B = 100 \cdot 100 \cdot 100 = 1.000.000\)
Cuối cùng, thực hiện phép trừ:
\(B = 1.000.000 – 1\)
\(B = 999.999\)
Vậy, giá trị của biểu thức B là \(999.999\).
Kết luận:
Qua hai bài tập trên, các em thấy rằng việc nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và khả năng quan sát, biến đổi biểu thức là rất quan trọng trong việc giải toán. Nó giúp chúng ta “tính nhanh” và chính xác hơn rất nhiều so với cách tính trực tiếp.
Chúc các em học tốt và luôn tìm thấy niềm vui trong môn Toán nhé!
\(a)\)
\(A=x^2 +0,2x+0,01=x^2 +0,1 . 2x+(0,1)^2=(x+0,1)^2\)
Thay \(x=19,9\) vào ta được : \((0,1+19,9)^2=20^2=400\)
\(b)\)
\(B=x^3+3x^2+3x=x^3 +3x+3x+1-1=(x+1)^3 -1\)
Thay \(x=99\) vào ta được : \((99+1)^3-1=100^3 -1=1000000-1=999999\)
\(a)\)
\(A=x^2+0,2x+0,01\)
\(A=x^2+2.x.0,1+(0,1)^2\)
\(A=(x+0,1)^2\)
Thay \(x=19,9=>A=(19,9+0,1)^2=20^2=400\)
\(b)\)
\(B=x^3+3x^2+3x\)
\(B=x^3+3x^2+3x+1-1\)
\(B=(x+1)^3-1\)
Thay \(x=99\), ta có:
\(B=(99+1)^3-1\)
\(B=100^3-1\)
\(B=1000000-1\)
\(B=999999\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment