Chào các em học sinh lớp 9 thân mến,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rút gọn biểu thức đại số chứa căn thức. Đây là dạng bài rất quan trọng, thường gặp trong các kì thi giữa kì và cuối kì, cũng như trong kì thi vào lớp 10. Để giải quyết bài toán này một cách chính xác, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về rút gọn phân thức, quy đồng mẫu số, phân tích đa thức thành nhân tử (đặc biệt là hằng đẳng thức đáng nhớ).

Đề bài yêu cầu chúng ta rút gọn biểu thức:

\(Q=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{4\sqrt{x}}{x-4}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}-1\right)\)

Với điều kiện \(x\ge 0\) và \(x\ne 4\).

Trước hết, chúng ta hãy cùng phân tích biểu thức này. Biểu thức \(Q\) được cấu tạo bởi phép chia của hai biểu thức lớn trong dấu ngoặc đơn. Để làm cho bài toán dễ dàng hơn, thầy sẽ gọi biểu thức trong dấu ngoặc đơn thứ nhất là A và biểu thức trong dấu ngoặc đơn thứ hai là B. Khi đó, chúng ta có \(Q = A : B\).

Bước 1: Rút gọn biểu thức A (biểu thức trong dấu ngoặc đơn thứ nhất)

Ta có:

\(A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{4\sqrt{x}}{x-4}\)

Các em hãy nhìn vào mẫu số của phân thức thứ hai: \(x-4\). Chúng ta có thể nhận ra đây là một hằng đẳng thức đáng nhớ dạng hiệu hai bình phương, cụ thể là \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\). Ở đây, \(a=\sqrt{x}\) và \(b=2\).

Vậy, \(x-4 = (\sqrt{x})^2 – 2^2 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\).

Khi đó, biểu thức A sẽ trở thành:

\(A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)

Bây giờ, chúng ta thấy mẫu số chung của hai phân thức là \((\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\). Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số:

\(A = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}+\frac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)

Thực hiện phép cộng các tử số sau khi đã quy đồng:

\(A = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2) + 4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)

Khai triển tử số:

\(A = \frac{x – 2\sqrt{x} + 4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)

Gộp các số hạng đồng dạng ở tử số:

\(A = \frac{x + 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)

Tiếp theo, các em hãy quan sát tử số \(x + 2\sqrt{x}\). Chúng ta có thể đặt thừa số chung là \(\sqrt{x}\) ra ngoài:

\(x + 2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)\)

Vậy biểu thức A trở thành:

\(A = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)

Vì điều kiện \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\), nên \(\sqrt{x} \ne 2\). Do đó, \(\sqrt{x}+2\) luôn khác 0. Chúng ta có thể rút gọn \(\sqrt{x}+2\) ở cả tử và mẫu:

\(A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)

Vậy là chúng ta đã rút gọn xong biểu thức A.

Bước 2: Rút gọn biểu thức B (biểu thức trong dấu ngoặc đơn thứ hai)

Ta có:

\(B = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}-1\)

Để thực hiện phép trừ này, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Số 1 có thể viết dưới dạng phân thức với mẫu số là \(\sqrt{x}-2\):

\(1 = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}\)

Vậy biểu thức B trở thành:

\(B = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}\)

Thực hiện phép trừ các tử số:

\(B = \frac{(\sqrt{x}-1) – (\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}-2}\)

Nhớ đổi dấu các số hạng trong ngoặc sau dấu trừ:

\(B = \frac{\sqrt{x}-1-\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\)

Gộp các số hạng đồng dạng ở tử số:

\(B = \frac{( \sqrt{x} – \sqrt{x} ) + ( -1 + 2 )}{\sqrt{x}-2}\)

\(B = \frac{0 + 1}{\sqrt{x}-2}\)

\(B = \frac{1}{\sqrt{x}-2}\)

Vậy là chúng ta đã rút gọn xong biểu thức B.

Bước 3: Rút gọn biểu thức Q

Như chúng ta đã phân tích ban đầu, \(Q = A : B\). Bây giờ chúng ta sẽ thay các biểu thức A và B đã được rút gọn vào:

\(Q = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} : \frac{1}{\sqrt{x}-2}\)

Nhớ rằng, chia cho một phân số là nhân với nghịch đảo của phân số đó.

\(Q = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} \times \frac{\sqrt{x}-2}{1}\)

Vì điều kiện \(x \ne 4\), nên \(\sqrt{x}-2 \ne 0\). Chúng ta có thể rút gọn \(\sqrt{x}-2\) ở cả tử và mẫu:

\(Q = \sqrt{x}\)

Kết luận:

Vậy, sau khi thực hiện các bước rút gọn chi tiết, biểu thức đã cho có dạng đơn giản nhất là:

\(Q = \sqrt{x}\)

Với điều kiện \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\).

Các em hãy nhớ kiểm tra lại các điều kiện của biến trong từng bước để đảm bảo phép rút gọn là hợp lệ nhé. Bài học hôm nay kết thúc tại đây, chúc các em học tốt!