Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải hai bài toán về phương trình bậc hai. Đây là một dạng toán rất quan trọng và thú vị trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta. Việc nắm vững cách giải phương trình bậc hai sẽ giúp các em rất nhiều trong các bài toán sau này.

Chúng ta sẽ đi qua từng bước một thật chi tiết để các em có thể hiểu rõ cách làm nhé!

Bài 1: Giải phương trình \(x^2 + 2x + 9 = 0\)

Đối với phương trình này, chúng ta sẽ thử dùng phương pháp “hoàn thành bình phương” (hay còn gọi là thêm bớt để có hằng đẳng thức đáng nhớ) để giải quyết nhé.

Chúng ta có phương trình ban đầu:

\(x^2 + 2x + 9 = 0\)

Chúng ta quan sát hai số hạng đầu tiên \(x^2 + 2x\). Chúng ta thấy nó giống với một phần của hằng đẳng thức \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Cụ thể, nếu chúng ta coi \(a=x\), thì \(2ab\) tương ứng với \(2x\). Từ đó suy ra \(2xb = 2x\), vậy \(b = 1\).

Để có một bình phương hoàn chỉnh \((x+1)^2\), chúng ta cần có \(x^2 + 2x + 1\).

Chúng ta sẽ tách số 9 trong phương trình ban đầu thành tổng của \(1 + 8\):

\(x^2 + 2x + 1 + 8 = 0\)

Bây giờ, ba số hạng đầu tiên \(x^2 + 2x + 1\) chính là \((x+1)^2\). Thay vào phương trình, chúng ta được:

\((x+1)^2 + 8 = 0\)

Tiếp theo, chúng ta sẽ chuyển số 8 sang vế phải của phương trình:

\((x+1)^2 = -8\)

Đến đây, chúng ta hãy cùng dừng lại và phân tích một chút.

Vế trái của phương trình là \((x+1)^2\). Đây là bình phương của một biểu thức. Chúng ta đã học rằng bình phương của bất kỳ số thực nào (dù số đó dương, âm hay bằng 0) luôn luôn là một số không âm (tức là luôn lớn hơn hoặc bằng 0).
Nói cách khác, \((x+1)^2 \ge 0\).

Trong khi đó, vế phải của phương trình là \(-8\), đây là một số âm.
Tức là, chúng ta đang có \((x+1)^2 = \text{một số âm}\).

Điều này dẫn đến một mâu thuẫn: một số không âm lại bằng một số âm. Điều này là không thể xảy ra trong tập hợp các số thực.

Do đó, không có giá trị thực nào của \(x\) có thể thỏa mãn phương trình này.

Kết luận: Phương trình \(x^2 + 2x + 9 = 0\) vô nghiệm (không có nghiệm thực).

Bài 2: Giải phương trình \(x^2 + 2x – 24 = 0\)

Đối với phương trình này, chúng ta có thể áp dụng nhiều phương pháp. Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em hai phương pháp phổ biến và dễ hiểu nhất là “phân tích đa thức thành nhân tử” và “hoàn thành bình phương”.

Cách 1: Phân tích đa thức thành nhân tử (Sử dụng phương pháp tách hạng tử)

Phương trình đã cho là:

\(x^2 + 2x – 24 = 0\)

Mục tiêu của chúng ta là biến đổi phương trình thành dạng tích của hai nhân tử bằng 0. Để làm điều đó, chúng ta cần tìm hai số nguyên mà tích của chúng bằng \(-24\) (hệ số tự do) và tổng của chúng bằng \(2\) (hệ số của \(x\)).

Hãy cùng liệt kê các cặp số nguyên có tích bằng \(-24\) và kiểm tra tổng của chúng:

• \(1 \times (-24) = -24\) (Tổng: \(1 + (-24) = -23\))

• \((-1) \times 24 = -24\) (Tổng: \(-1 + 24 = 23\))

• \(2 \times (-12) = -24\) (Tổng: \(2 + (-12) = -10\))

• \((-2) \times 12 = -24\) (Tổng: \(-2 + 12 = 10\))

• \(3 \times (-8) = -24\) (Tổng: \(3 + (-8) = -5\))

• \((-3) \times 8 = -24\) (Tổng: \(-3 + 8 = 5\))

• \(4 \times (-6) = -24\) (Tổng: \(4 + (-6) = -2\))

• \((-4) \times 6 = -24\) (Tổng: \(-4 + 6 = 2\)) <– Đây rồi!

Chúng ta đã tìm được cặp số là \(-4\) và \(6\). Tích của chúng là \(-24\) và tổng của chúng là \(2\).

Bây giờ chúng ta sẽ tách hạng tử \(2x\) trong phương trình thành \(-4x + 6x\):

\(x^2 – 4x + 6x – 24 = 0\)

Tiếp theo, chúng ta nhóm các hạng tử lại để đặt nhân tử chung:

\((x^2 – 4x) + (6x – 24) = 0\)

Đặt nhân tử chung cho từng nhóm:

Trong nhóm thứ nhất \((x^2 – 4x)\), ta đặt \(x\) làm nhân tử chung: \(x(x – 4)\).

Trong nhóm thứ hai \((6x – 24)\), ta đặt \(6\) làm nhân tử chung: \(6(x – 4)\).

Vậy phương trình trở thành:

\(x(x – 4) + 6(x – 4) = 0\)

Bây giờ, chúng ta thấy có một nhân tử chung là \((x – 4)\). Đặt nhân tử chung này ra ngoài:

\((x – 4)(x + 6) = 0\)

Để tích của hai thừa số bằng 0, thì ít nhất một trong hai thừa số đó phải bằng 0. Vậy chúng ta có hai trường hợp có thể xảy ra:

Trường hợp 1:

\(x – 4 = 0\)

Chuyển số \(-4\) sang vế phải:

\(x = 4\)

Trường hợp 2:

\(x + 6 = 0\)

Chuyển số \(6\) sang vế phải:

\(x = -6\)

Vậy, phương trình có hai nghiệm là \(x_1 = 4\) và \(x_2 = -6\).

Cách 2: Hoàn thành bình phương

Phương trình đã cho là:

\(x^2 + 2x – 24 = 0\)

Đầu tiên, chúng ta chuyển số hạng tự do (\(-24\)) sang vế phải của phương trình:

\(x^2 + 2x = 24\)

Để hoàn thành bình phương cho vế trái thành dạng \((x+a)^2\), chúng ta cần thêm một số vào cả hai vế. Từ hạng tử \(x^2 + 2x\), chúng ta biết rằng \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\). Vậy, số chúng ta cần thêm vào là \(1\).

Thêm \(1\) vào cả hai vế của phương trình:

\(x^2 + 2x + 1 = 24 + 1\)

Bây giờ, vế trái chính là một bình phương hoàn chỉnh \((x+1)^2\), và vế phải là \(25\):

\((x+1)^2 = 25\)

Để tìm giá trị của \(x+1\), chúng ta lấy căn bậc hai của cả hai vế. Lưu ý rằng căn bậc hai của 25 có thể là \(5\) (vì \(5^2=25\)) hoặc \(-5\) (vì \((-5)^2=25\)).

\(x+1 = \pm\sqrt{25}\)

\(x+1 = \pm 5\)

Chúng ta lại có hai trường hợp để giải:

Trường hợp 1:

\(x + 1 = 5\)

Chuyển \(1\) sang vế phải:

\(x = 5 – 1\)

\(x = 4\)

Trường hợp 2:

\(x + 1 = -5\)

Chuyển \(1\) sang vế phải:

\(x = -5 – 1\)

\(x = -6\)

Như các em thấy, cả hai phương pháp đều cho ra cùng một kết quả.

Kết luận: Phương trình \(x^2 + 2x – 24 = 0\) có hai nghiệm là \(x_1 = 4\) và \(x_2 = -6\).

Các em nhớ nhé, đối với phương trình bậc hai, chúng ta có thể có 2 nghiệm phân biệt, 1 nghiệm kép, hoặc vô nghiệm (trong tập số thực). Việc chọn phương pháp nào phù hợp sẽ giúp các em giải bài toán nhanh chóng và chính xác hơn. Cố gắng luyện tập thường xuyên để thành thạo các phương pháp này nhé!

Chúc các em học tốt!