Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về số nguyên và số nguyên tố. Đề bài yêu cầu chúng ta tìm tất cả các số nguyên \(x\) sao cho biểu thức \(x^2 + 5x + 6\) là một số nguyên tố. Nào, chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bước 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Để giải quyết bài toán này, điều đầu tiên chúng ta cần làm là phân tích biểu thức \(x^2 + 5x + 6\) thành nhân tử. Việc này sẽ giúp chúng ta dễ dàng xét các trường hợp hơn khi liên quan đến số nguyên tố.

Ta có:

\(x^2 + 5x + 6 = x^2 + 2x + 3x + 6\)

\(= x(x+2) + 3(x+2)\)

\(= (x+2)(x+3)\)

Như vậy, biểu thức của chúng ta trở thành tích của hai nhân tử: \((x+2)\) và \((x+3)\).

Bước 2: Áp dụng định nghĩa số nguyên tố

Các em nhớ lại nhé: một số nguyên tố là một số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước dương là 1 và chính nó. Ví dụ: 2, 3, 5, 7, 11,…

Chúng ta có biểu thức \((x+2)(x+3)\) phải là một số nguyên tố, gọi số nguyên tố đó là \(p\).

Vậy, \((x+2)(x+3) = p\).

Vì \(p\) là số nguyên tố, nó chỉ có các ước là \(\pm 1\) và \(\pm p\). Điều này có nghĩa là một trong các nhân tử \((x+2)\) hoặc \((x+3)\) phải bằng \(\pm 1\).

Chúng ta cũng nhận thấy rằng \((x+3)\) lớn hơn \((x+2)\) đúng 1 đơn vị, tức là \((x+3) = (x+2) + 1\). Đây là hai số nguyên liên tiếp.

Bước 3: Xét các trường hợp có thể xảy ra

Trường hợp 1: Một trong hai nhân tử bằng 1.

Trường hợp 1a: \(x+2 = 1\)

Nếu \(x+2 = 1\), thì \(x = 1 – 2 = -1\).

Thay \(x = -1\) vào nhân tử còn lại, ta có: \(x+3 = -1+3 = 2\).

Vậy, giá trị của biểu thức là \((x+2)(x+3) = (1)(2) = 2\).

Số 2 là một số nguyên tố. Do đó, \(x = -1\) là một giá trị thỏa mãn.

Trường hợp 1b: \(x+3 = 1\)

Nếu \(x+3 = 1\), thì \(x = 1 – 3 = -2\).

Thay \(x = -2\) vào nhân tử còn lại, ta có: \(x+2 = -2+2 = 0\).

Vậy, giá trị của biểu thức là \((x+2)(x+3) = (0)(1) = 0\).

Số 0 không phải là số nguyên tố (vì số nguyên tố phải lớn hơn 1). Do đó, \(x = -2\) không phải là giá trị thỏa mãn.

Trường hợp 2: Một trong hai nhân tử bằng -1.

Trường hợp 2a: \(x+2 = -1\)

Nếu \(x+2 = -1\), thì \(x = -1 – 2 = -3\).

Thay \(x = -3\) vào nhân tử còn lại, ta có: \(x+3 = -3+3 = 0\).

Vậy, giá trị của biểu thức là \((x+2)(x+3) = (-1)(0) = 0\).

Số 0 không phải là số nguyên tố. Do đó, \(x = -3\) không phải là giá trị thỏa mãn.

Trường hợp 2b: \(x+3 = -1\)

Nếu \(x+3 = -1\), thì \(x = -1 – 3 = -4\).

Thay \(x = -4\) vào nhân tử còn lại, ta có: \(x+2 = -4+2 = -2\).

Vậy, giá trị của biểu thức là \((x+2)(x+3) = (-2)(-1) = 2\).

Số 2 là một số nguyên tố. Do đó, \(x = -4\) là một giá trị thỏa mãn.

Bước 4: Kết luận

Qua việc xét các trường hợp trên, chúng ta thấy rằng có hai giá trị của \(x\) làm cho biểu thức \(x^2 + 5x + 6\) là số nguyên tố:

• Khi \(x = -1\), giá trị của biểu thức là 2 (là số nguyên tố).
• Khi \(x = -4\), giá trị của biểu thức là 2 (là số nguyên tố).

Vậy, tất cả các số nguyên \(x\) thỏa mãn yêu cầu của bài toán là \(\mathbf{x = -1}\) và \(\mathbf{x = -4}\).

Các em thấy không, một bài toán tưởng chừng phức tạp lại trở nên đơn giản hơn rất nhiều khi chúng ta biết cách phân tích và áp dụng đúng định nghĩa. Hãy luôn nhớ kỹ các định nghĩa cơ bản và phương pháp phân tích nhân tử nhé!

Chúc các em học tốt!