Bài toán yêu cầu chúng ta: Cho \(A = 10^{2012} + 10^{2011} + 10^{2010} + 10^{2009} + 8\).
Chứng minh rằng \(A\) chia hết cho 24.

Để chứng minh \(A\) chia hết cho 24, chúng ta cần chứng minh \(A\) đồng thời chia hết cho cả 3 và 8, vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau và \(3 \times 8 = 24\).

Phần 1: Chứng minh A chia hết cho 3

Chúng ta sẽ xem xét tổng các chữ số của \(A\).
Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.

Ta có \(A = 10^{2012} + 10^{2011} + 10^{2010} + 10^{2009} + 8\).
\(10^{2012}\) là số 1 theo sau bởi 2012 chữ số 0. Tổng các chữ số là 1.
\(10^{2011}\) là số 1 theo sau bởi 2011 chữ số 0. Tổng các chữ số là 1.
\(10^{2010}\) là số 1 theo sau bởi 2010 chữ số 0. Tổng các chữ số là 1.
\(10^{2009}\) là số 1 theo sau bởi 2009 chữ số 0. Tổng các chữ số là 1.

Vậy, \(A\) có dạng:
\(1\underbrace{00…0}_{2012} + 1\underbrace{00…0}_{2011} + 1\underbrace{00…0}_{2010} + 1\underbrace{00…0}_{2009} + 8\)

Hoặc cách khác, ta có thể nhóm các lũy thừa của 10 lại:
\(A = 10^{2009} \times (10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0) + 8\)
\(A = 10^{2009} \times (1000 + 100 + 10 + 1) + 8\)
\(A = 10^{2009} \times 1111 + 8\)

Xét số \(10^{2009}\). Số này có chữ số 1 đứng đầu, theo sau là 2009 chữ số 0. Tổng các chữ số là \(1 + 0 + 0 + … + 0 = 1\).
Khi nhân \(10^{2009}\) với 1111, ta được một số có dạng \(1111\) theo sau bởi 2009 chữ số 0.
\(10^{2009} \times 1111 = 1111\underbrace{00…0}_{2009}\).
Tổng các chữ số của \(1111\underbrace{00…0}_{2009}\) là \(1 + 1 + 1 + 1 + 0 + … + 0 = 4\).

Khi cộng thêm 8 vào, ta có \(A = 1111\underbrace{00…0}_{2009} + 8 = 1111\underbrace{00…0}_{2007}8\).
Tuy nhiên, cách này hơi khó nhìn tổng các chữ số.

Chúng ta xét lại \(A = 10^{2012} + 10^{2011} + 10^{2010} + 10^{2009} + 8\).
Ta biết rằng \(10 \equiv 1 \pmod{3}\).
Do đó, mọi lũy thừa của 10 cũng sẽ đồng dư với 1 theo modulo 3.
\(10^{2012} \equiv 1^{2012} \equiv 1 \pmod{3}\)
\(10^{2011} \equiv 1^{2011} \equiv 1 \pmod{3}\)
\(10^{2010} \equiv 1^{2010} \equiv 1 \pmod{3}\)
\(10^{2009} \equiv 1^{2009} \equiv 1 \pmod{3}\)
Và \(8 \equiv 2 \pmod{3}\).

Vậy, \(A \equiv 1 + 1 + 1 + 1 + 2 \pmod{3}\)
\(A \equiv 6 \pmod{3}\)
Vì 6 chia hết cho 3, nên \(A\) chia hết cho 3.

Phần 2: Chứng minh A chia hết cho 8

Một số chia hết cho 8 khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8.

Ta có \(A = 10^{2012} + 10^{2011} + 10^{2010} + 10^{2009} + 8\).
Nhận xét rằng các số \(10^{2012}, 10^{2011}, 10^{2010}, 10^{2009}\) đều là các lũy thừa của 10 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3.
Do đó, \(10^{2012}, 10^{2011}, 10^{2010}, 10^{2009}\) đều chia hết cho \(10^3 = 1000\).
Mà 1000 chia hết cho 8 (vì \(1000 = 125 \times 8\)).
Vì vậy, \(10^{2012}, 10^{2011}, 10^{2010}, 10^{2009}\) đều chia hết cho 8.

Ta có thể viết lại \(A\) như sau:
\(A = 10^{2009} \times (10^3 + 10^2 + 10 + 1) + 8\)
\(A = 10^{2009} \times (1000 + 100 + 10 + 1) + 8\)
\(A = 10^{2009} \times 1111 + 8\)

Vì \(2009 \ge 3\), nên \(10^{2009}\) chia hết cho \(10^3 = 1000\).
Và 1000 chia hết cho 8.
Do đó, \(10^{2009}\) chia hết cho 8.
Suy ra, \(10^{2009} \times 1111\) chia hết cho 8.

Khi đó, \(A = (\text{một số chia hết cho 8}) + 8\).
Vì 8 chia hết cho 8, nên tổng của một số chia hết cho 8 và 8 cũng sẽ chia hết cho 8.
Vậy, \(A\) chia hết cho 8.

Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được rằng \(A\) chia hết cho 3 và \(A\) chia hết cho 8.
Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau (\(\text{ƯCLN}(3, 8) = 1\)), nên nếu một số chia hết cho cả 3 và 8 thì nó cũng sẽ chia hết cho tích của chúng.
\(3 \times 8 = 24\).

Do đó, \(A\) chia hết cho 24.

Bài học rút ra:

Để chứng minh một số chia hết cho hợp số, chúng ta có thể phân tích hợp số đó thành tích các thừa số nguyên tố cùng nhau và chứng minh số đó chia hết cho từng thừa số nguyên tố đó.

Các em có câu hỏi gì không nào? Nếu có, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé!