Chào các em học sinh, hôm nay chúng ta sẽ cùng giải một bài toán thực tế rất thú vị, sử dụng kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và tối ưu hóa chi phí. Đây là một dạng bài rất hay gặp trong các bài kiểm tra và đặc biệt là trong thực tế cuộc sống!

Chúng ta có bài toán sau:

Câu 5: Để phục vụ chiến dịch cứu trợ mùa lũ năm 2025, một đội cứu hộ cần thuê phương tiện để chở 28 nhân viên cùng 9 tấn thiết bị cứu hộ đến hai khu vực bị ảnh hưởng nặng là hai tỉnh Thái Nguyên và Cao Bằng. Nơi cho thuê có hai loại xe:

• Loại A: có 10 chiếc; mỗi chiếc chở được tối đa 4 người và 0,6 tấn hàng; giá thuê 4 triệu đồng/xe.
• Loại B: có 9 chiếc; mỗi chiếc chở được tối đa 2 người và 1,5 tấn hàng; giá thuê 3 triệu đồng/xe.

Hãy tìm phương án thuê xe tối ưu để tổng chi phí là thấp nhất.

Bài giải:

Bước 1: Xác định các biến số

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định số lượng xe mỗi loại mà đội cứu hộ cần thuê.

Gọi \(x\) là số chiếc xe loại A cần thuê.

Gọi \(y\) là số chiếc xe loại B cần thuê.

Điều kiện: Vì số lượng xe phải là số nguyên và không thể âm, nên \(x, y\) phải là các số nguyên không âm. Tức là \(x \in \mathbb{N}\) và \(y \in \mathbb{N}\).

Bước 2: Xây dựng hàm mục tiêu (hàm chi phí)

Mục tiêu của đội cứu hộ là tối thiểu hóa tổng chi phí thuê xe.

Giá thuê 1 xe loại A là 4 triệu đồng.

Giá thuê 1 xe loại B là 3 triệu đồng.

Tổng chi phí thuê xe sẽ là \(C = 4x + 3y\) (triệu đồng). Nhiệm vụ của chúng ta là tìm các giá trị \(x, y\) sao cho \(C\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Bước 3: Lập các ràng buộc (hệ bất phương trình)

Dựa vào các thông tin về số người, lượng hàng hóa cần chở và số lượng xe có sẵn, chúng ta có các ràng buộc sau:

1. Ràng buộc về số người cần chở:

Đội cứu hộ cần chở 28 nhân viên.

Mỗi xe loại A chở được tối đa 4 người.

Mỗi xe loại B chở được tối đa 2 người.

Vậy tổng số người mà \(x\) xe loại A và \(y\) xe loại B có thể chở phải lớn hơn hoặc bằng 28:

\(4x + 2y \ge 28\)

Ta có thể rút gọn bất phương trình này bằng cách chia cả hai vế cho 2 (vì 2 là số dương, chiều của bất phương trình không đổi):

\(2x + y \ge 14\)      (1)

2. Ràng buộc về lượng hàng hóa cần chở:

Đội cứu hộ cần chở 9 tấn thiết bị.

Mỗi xe loại A chở được tối đa 0,6 tấn hàng.

Mỗi xe loại B chở được tối đa 1,5 tấn hàng.

Vậy tổng lượng hàng hóa mà \(x\) xe loại A và \(y\) xe loại B có thể chở phải lớn hơn hoặc bằng 9 tấn:

\(0,6x + 1,5y \ge 9\)

Để loại bỏ các số thập phân, ta nhân cả hai vế với 10:

\(6x + 15y \ge 90\)

Sau đó, ta chia cả hai vế cho 3 để rút gọn:

\(2x + 5y \ge 30\)      (2)

3. Ràng buộc về số lượng xe có sẵn:

Nơi cho thuê có 10 chiếc xe loại A, nên số xe loại A thuê không được vượt quá 10:

\(0 \le x \le 10\)      (3)

Nơi cho thuê có 9 chiếc xe loại B, nên số xe loại B thuê không được vượt quá 9:

\(0 \le y \le 9\)      (4)

4. Ràng buộc về điều kiện của biến:

\(x, y\) phải là các số nguyên không âm. Tức là \(x, y \in \mathbb{N}\).

Tóm lại, chúng ta cần tìm các số nguyên không âm \(x, y\) thỏa mãn hệ bất phương trình sau và làm cho hàm chi phí \(C = 4x + 3y\) đạt giá trị nhỏ nhất:

\(\begin{cases} 2x + y \ge 14 \quad (1) \\ 2x + 5y \ge 30 \quad (2) \\ 0 \le x \le 10 \quad (3) \\ 0 \le y \le 9 \quad (4) \\ x, y \in \mathbb{N} \end{cases}\)

Bước 4: Xác định miền nghiệm (miền khả thi) và các điểm cực trị

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm chi phí, chúng ta sẽ khảo sát các điểm “góc” của miền nghiệm (miền khả thi). Miền nghiệm là tập hợp tất cả các cặp \((x, y)\) thỏa mãn hệ bất phương trình trên. Vì \(x, y\) là số nguyên, chúng ta sẽ tập trung vào việc tìm các điểm nguyên nằm trong hoặc trên biên của miền nghiệm.

Các đường biên quan trọng của miền nghiệm là các đường thẳng tương ứng với các bất phương trình:

• \(d_1: 2x + y = 14\)
• \(d_2: 2x + 5y = 30\)
• Các đường thẳng \(x = 0, x = 10\)
• Các đường thẳng \(y = 0, y = 9\)

Miền nghiệm là phần nằm phía trên (hoặc bên phải) của hai đường thẳng \(d_1, d_2\) và nằm trong hình chữ nhật được tạo bởi các đường \(x = 0, x = 10, y = 0, y = 9\).

Chúng ta cần tìm các giao điểm của các đường thẳng biên này:

1. Giao điểm của \(d_1\) và \(d_2\):

Để tìm giao điểm này, chúng ta giải hệ phương trình:

\(\begin{cases} 2x + y = 14 \\ 2x + 5y = 30 \end{cases}\)

Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai (vế theo vế), ta được:

\((2x + 5y) – (2x + y) = 30 – 14\)

\(4y = 16\)

\(y = 4\)

Thay \(y = 4\) vào phương trình \(2x + y = 14\):

\(2x + 4 = 14\)

\(2x = 10\)

\(x = 5\)

Vậy, giao điểm là \((5, 4)\). Điểm này thỏa mãn các điều kiện về số xe có sẵn (\(0 \le 5 \le 10\) và \(0 \le 4 \le 9\)) và là một cặp số nguyên.

2. Giao điểm của \(d_1\) với đường biên \(y = 9\):

Thay \(y = 9\) vào phương trình \(2x + y = 14\):

\(2x + 9 = 14\)

\(2x = 5\)

\(x = 2,5\)

Điểm giao là \((2,5, 9)\). Điểm này không phải là cặp số nguyên.

3. Giao điểm của \(d_2\) với đường biên \(x = 10\):

Thay \(x = 10\) vào phương trình \(2x + 5y = 30\):

\(2(10) + 5y = 30\)

\(20 + 5y = 30\)

\(5y = 10\)

\(y = 2\)

Điểm giao là \((10, 2)\). Điểm này thỏa mãn các điều kiện về số xe có sẵn (\(0 \le 10 \le 10\) và \(0 \le 2 \le 9\)) và là một cặp số nguyên.

Các điểm nguyên tiềm năng mà chúng ta cần xem xét để tìm giá trị nhỏ nhất của chi phí là các đỉnh của miền nghiệm hoặc các điểm nguyên lân cận các đỉnh đó:

• Điểm \(A(5, 4)\) – đây là giao điểm của hai đường biên chính.
• Để xét điểm nguyên gần \((2,5, 9)\) và nằm trong miền khả thi (phía trên hoặc bên phải đường biên), chúng ta chọn \(x = 3\) (số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng 2,5) và \(y = 9\). Ta được điểm \(B(3, 9)\).
• Điểm \(C(10, 2)\) – đây là giao điểm của một đường biên chính và một đường giới hạn số xe.

Chúng ta sẽ tính chi phí \(C = 4x + 3y\) tại các điểm nguyên này để tìm giá trị nhỏ nhất.

Bước 5: Tính giá trị hàm mục tiêu tại các điểm ứng cử viên

1. Tại điểm \(A(5, 4)\): (thuê 5 xe loại A và 4 xe loại B)

• Kiểm tra các ràng buộc:
  • Số người: \(4(5) + 2(4) = 20 + 8 = 28\). Đủ 28 nhân viên. (Thỏa mãn)
  • Lượng hàng: \(0,6(5) + 1,5(4) = 3 + 6 = 9\). Đủ 9 tấn hàng. (Thỏa mãn)
  • Số xe có sẵn: \(5 \le 10\) (xe A) và \(4 \le 9\) (xe B). (Thỏa mãn)
• Chi phí: \(C = 4(5) + 3(4) = 20 + 12 = 32\) triệu đồng.

2. Tại điểm \(B(3, 9)\): (thuê 3 xe loại A và 9 xe loại B)

• Kiểm tra các ràng buộc:
  • Số người: \(4(3) + 2(9) = 12 + 18 = 30\). Đủ 28 nhân viên. (Thỏa mãn)
  • Lượng hàng: \(0,6(3) + 1,5(9) = 1,8 + 13,5 = 15,3\). Đủ 9 tấn hàng. (Thỏa mãn)
  • Số xe có sẵn: \(3 \le 10\) (xe A) và \(9 \le 9\) (xe B). (Thỏa mãn)
• Chi phí: \(C = 4(3) + 3(9) = 12 + 27 = 39\) triệu đồng.

3. Tại điểm \(C(10, 2)\): (thuê 10 xe loại A và 2 xe loại B)

• Kiểm tra các ràng buộc:
  • Số người: \(4(10) + 2(2) = 40 + 4 = 44\). Đủ 28 nhân viên. (Thỏa mãn)
  • Lượng hàng: \(0,6(10) + 1,5(2) = 6 + 3 = 9\). Đủ 9 tấn hàng. (Thỏa mãn)
  • Số xe có sẵn: \(10 \le 10\) (xe A) và \(2 \le 9\) (xe B). (Thỏa mãn)
• Chi phí: \(C = 4(10) + 3(2) = 40 + 6 = 46\) triệu đồng.

So sánh các giá trị chi phí đã tính được: 32 triệu đồng, 39 triệu đồng, 46 triệu đồng.

Giá trị nhỏ nhất là 32 triệu đồng, đạt được khi thuê 5 xe loại A và 4 xe loại B.

Các em cũng có thể thử thêm các điểm nguyên lân cận để kiểm tra, ví dụ:
Nếu \(x = 4\):
\(2(4) + y \ge 14 \Rightarrow y \ge 6\)
\(2(4) + 5y \ge 30 \Rightarrow 5y \ge 22 \Rightarrow y \ge 4.4\)
Vậy \(y\) phải từ 6 trở lên. Thử \(x=4, y=6\). Chi phí: \(4(4) + 3(6) = 16 + 18 = 34\) triệu đồng. (Lớn hơn 32 triệu)
Nếu \(x = 6\):
\(2(6) + y \ge 14 \Rightarrow y \ge 2\)
\(2(6) + 5y \ge 30 \Rightarrow 5y \ge 18 \Rightarrow y \ge 3.6\)
Vậy \(y\) phải từ 4 trở lên. Thử \(x=6, y=4\). Chi phí: \(4(6) + 3(4) = 24 + 12 = 36\) triệu đồng. (Lớn hơn 32 triệu)

Rõ ràng, phương án \(x=5, y=4\) là tối ưu nhất.

Bước 6: Kết luận

Để tổng chi phí thuê xe là thấp nhất, đội cứu hộ cần thuê 5 chiếc xe loại A và 4 chiếc xe loại B.

Tổng chi phí tối thiểu cho chiến dịch này sẽ là 32 triệu đồng.