Chào các em học sinh lớp 6 yêu quý!

Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau “khám phá” hai bài toán rất thú vị về việc tính tổng các dãy số có quy luật đặc biệt. Đây là những dạng bài thường gặp và có một phương pháp giải chung rất hiệu quả đấy! Chúng ta hãy cùng bắt tay vào làm nhé!

Bài 1: Thực hiện phép tính

a) Tính tổng \(A = 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{50}\)

Các em hãy quan sát kỹ dãy số này. Các em có thấy một quy luật đặc biệt nào không? Đúng rồi! Mỗi số hạng đứng sau đều gấp đôi số hạng đứng liền trước nó. Đây là đặc điểm của một loại dãy số mà chúng ta có thể tính tổng rất nhanh bằng một mẹo nhỏ.

Để tính tổng A, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Viết lại biểu thức A.

\(A = 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{49} + 2^{50}\)

Bước 2: Nhân cả biểu thức A với số mà mỗi số hạng được nhân lên để tạo thành số hạng tiếp theo, ở đây là số 2.

\(2A = 2 \times (2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{49} + 2^{50})\)

Khi nhân vào, chúng ta sẽ được:

\(2A = 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^{50} + 2^{51}\)

Bước 3: Lấy \(2A – A\). Các em hãy để ý điều kỳ diệu sẽ xảy ra khi chúng ta trừ đi nhé!

\(2A – A = (2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^{50} + 2^{51}) – (2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{49} + 2^{50})\)

Các em thấy không? Hầu hết các số hạng giống nhau đều tự triệt tiêu lẫn nhau (ví dụ: \(2^2\) trừ \(2^2\), \(2^3\) trừ \(2^3\),…). Cuối cùng, chúng ta chỉ còn lại hai số hạng:

\(A = 2^{51} – 2\)

Vậy, tổng \(A = 2^{51} – 2\). Thật gọn gàng phải không nào?

b) Tính tổng \(B = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + … + 5^{150}\)

Tương tự như bài toán a), các em hãy lại quan sát dãy số này. Lần này, mỗi số hạng đứng sau gấp mấy lần số hạng đứng trước nhỉ? Đúng rồi, là gấp 5 lần! Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tương tự như bài a) để giải quyết bài toán này.

Bước 1: Viết lại biểu thức B.

\(B = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + … + 5^{149} + 5^{150}\)

Bước 2: Nhân cả biểu thức B với số mà mỗi số hạng được nhân lên để tạo thành số hạng tiếp theo, ở đây là số 5.

\(5B = 5 \times (1 + 5 + 5^2 + 5^3 + … + 5^{149} + 5^{150})\)

Khi nhân vào, chúng ta sẽ được:

\(5B = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + … + 5^{150} + 5^{151}\)

Bước 3: Lấy \(5B – B\). Các số hạng giống nhau sẽ lại biến mất một cách kỳ diệu!

\(5B – B = (5 + 5^2 + 5^3 + … + 5^{150} + 5^{151}) – (1 + 5 + 5^2 + 5^3 + … + 5^{149} + 5^{150})\)

Chúng ta sẽ còn lại:

\(4B = 5^{151} – 1\)

Bước 4: Tìm giá trị của B.

Từ \(4B = 5^{151} – 1\), chúng ta có thể tìm B bằng cách chia cả hai vế cho 4:

\(B = \frac{5^{151} – 1}{4}\)

Vậy, tổng \(B = \frac{5^{151} – 1}{4}\). Các em thấy đó, dù dãy số rất dài, nhưng với phương pháp này, chúng ta có thể tìm ra kết quả cuối cùng một cách rất nhanh chóng và chính xác!

Qua hai bài tập này, các em đã học được một phương pháp rất hay để tính tổng các dãy số có quy luật cấp số nhân rồi đấy. Hãy nhớ kỹ cách làm này để áp dụng cho các bài toán tương tự nhé!