Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về số tự nhiên và tính chia hết. Đây là một dạng bài rất hay, giúp các em rèn luyện tư duy logic và kỹ năng biến đổi biểu thức đại số đấy!

Đề bài: Tìm tất cả số tự nhiên \(n\) sao cho \(n^2 + 2n + 3\) chia hết cho \(n + 1\).

Chúng ta hãy cùng phân tích bài toán nhé!

Bước 1: Phân tích biểu thức.

Để một đa thức chia hết cho một đa thức khác, chúng ta có thể sử dụng phép chia đa thức hoặc biến đổi biểu thức ban đầu về dạng thích hợp. Ở đây, chúng ta sẽ cố gắng biến đổi tử số \(n^2 + 2n + 3\) sao cho nó xuất hiện thừa số \(n + 1\).

Các em hãy để ý đến biểu thức \(n + 1\). Nếu chúng ta bình phương biểu thức này, ta sẽ được:

\((n+1)^2 = n^2 + 2 \cdot n \cdot 1 + 1^2 = n^2 + 2n + 1\)

Thật trùng hợp, biểu thức này rất giống với phần đầu của tử số mà đề bài cho là \(n^2 + 2n + 3\).

Vậy, chúng ta có thể viết lại tử số như sau:

\(n^2 + 2n + 3 = (n^2 + 2n + 1) + 2\)

Thay \((n^2 + 2n + 1)\) bằng \((n+1)^2\), ta được:

\(n^2 + 2n + 3 = (n+1)^2 + 2\)

Bước 2: Áp dụng điều kiện chia hết.

Theo đề bài, chúng ta cần tìm \(n\) sao cho \(n^2 + 2n + 3\) chia hết cho \(n + 1\).

Điều này có nghĩa là \((n+1)^2 + 2\) phải chia hết cho \(n + 1\).

Chúng ta biết rằng:

Một số hạng trong tổng là \((n+1)^2\). Rõ ràng, \((n+1)^2\) luôn chia hết cho \(n + 1\) (vì \((n+1)^2 = (n+1) \cdot (n+1)\)).

Vậy, để tổng \((n+1)^2 + 2\) chia hết cho \(n + 1\), thì phần còn lại, tức là số hạng \(2\), cũng phải chia hết cho \(n + 1\).

Hay nói cách khác, \(n + 1\) phải là một ước của \(2\).

Bước 3: Tìm các ước của \(2\).

Các số nguyên là ước của \(2\) là: \(1, 2, -1, -2\).

Bước 4: Giải phương trình để tìm \(n\) và kiểm tra điều kiện.

Vì \(n\) là số tự nhiên, nên \(n \ge 0\).

Do đó, \(n + 1\) phải là một số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng \(1\) (tức là \(n+1 \ge 1\)).

Chúng ta sẽ xét từng trường hợp có thể của \(n + 1\):

Trường hợp 1: \(n + 1 = 1\)

Từ đây, ta có \(n = 1 – 1 = 0\).

Vì \(n=0\) là một số tự nhiên, nên \(n=0\) là một giá trị hợp lệ.

Kiểm tra lại: Với \(n=0\), biểu thức trở thành \(0^2 + 2(0) + 3 = 3\). Số chia là \(0+1 = 1\). Ta thấy \(3\) chia hết cho \(1\). (Đúng)

Trường hợp 2: \(n + 1 = 2\)

Từ đây, ta có \(n = 2 – 1 = 1\).

Vì \(n=1\) là một số tự nhiên, nên \(n=1\) là một giá trị hợp lệ.

Kiểm tra lại: Với \(n=1\), biểu thức trở thành \(1^2 + 2(1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6\). Số chia là \(1+1 = 2\). Ta thấy \(6\) chia hết cho \(2\). (Đúng)

Các trường hợp còn lại như \(n+1 = -1\) hoặc \(n+1 = -2\) sẽ cho ra \(n = -2\) hoặc \(n = -3\), đây không phải là các số tự nhiên nên chúng ta không xét.

Kết luận:

Vậy, tất cả các số tự nhiên \(n\) thỏa mãn điều kiện đề bài là \(n = 0\) và \(n = 1\).

Các em thấy không, một bài toán tưởng chừng phức tạp lại trở nên dễ dàng hơn khi chúng ta biết cách biến đổi biểu thức và áp dụng đúng các tính chất về chia hết! Chúc các em học tốt!