Chào các em học sinh lớp 9 thân mến!

Hôm nay, thầy/cô trò chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một dạng bài toán thú vị trong số học, đó là tìm nghiệm nguyên của phương trình. Phương trình chúng ta sẽ giải là:

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(5x + 4y = 12\)

Phân tích yêu cầu bài toán:

Nghiệm nguyên có nghĩa là chúng ta cần tìm các cặp số \((x, y)\) sao cho cả \(x\) và \(y\) đều là các số nguyên (bao gồm số tự nhiên, số 0 và số nguyên âm) và thỏa mãn phương trình đã cho.

Chúng ta sẽ tiến hành giải bài toán này theo các bước chi tiết sau:

Bước 1: Biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại

Từ phương trình ban đầu: \(5x + 4y = 12\)

Chúng ta có thể biểu diễn một ẩn theo ẩn kia. Thường thì ta chọn ẩn có hệ số nhỏ hơn hoặc ẩn nào đó giúp việc tính toán đơn giản hơn. Ở đây, hệ số của \(x\) là 5 và của \(y\) là 4. Ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\) (hoặc ngược lại, kết quả sẽ tương tự).

Chuyển hạng tử chứa \(x\) sang vế phải:

\(4y = 12 – 5x\)

Chia cả hai vế cho 4 để tìm \(y\):

\(y = \frac{12 – 5x}{4}\)

Bước 2: Phân tích điều kiện để \(y\) là số nguyên

Để \(y\) là một số nguyên, thì tử số \((12 – 5x)\) phải chia hết cho mẫu số 4.
Chúng ta có thể tách phân số này ra để dễ dàng phân tích hơn:

\(y = \frac{12}{4} – \frac{5x}{4}\)

\(y = 3 – \frac{5x}{4}\)

Vì 3 là một số nguyên, nên để \(y\) là số nguyên thì \(\frac{5x}{4}\) cũng phải là một số nguyên.

Điều này có nghĩa là \(5x\) phải chia hết cho 4.

Chúng ta biết rằng 5 và 4 là hai số nguyên tố cùng nhau (ƯCLN(5, 4) = 1). Theo tính chất của phép chia hết, nếu một tích \(ab\) chia hết cho \(c\) mà \(b\) và \(c\) nguyên tố cùng nhau, thì \(a\) phải chia hết cho \(c\).

Ở đây, \(5x\) chia hết cho 4, mà 5 và 4 nguyên tố cùng nhau, nên \(x\) bắt buộc phải chia hết cho 4.

Bước 3: Đặt ẩn phụ

Vì \(x\) chia hết cho 4, chúng ta có thể biểu diễn \(x\) dưới dạng một bội của 4. Ta đặt:

\(x = 4k\)

Trong đó \(k\) là một số nguyên bất kỳ (\(k \in \mathbb{Z}\)).

Bước 4: Thay thế và tìm \(y\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay biểu thức của \(x\) vừa tìm được vào công thức của \(y\):

\(y = 3 – \frac{5x}{4}\)

Thay \(x = 4k\) vào:

\(y = 3 – \frac{5(4k)}{4}\)

Rút gọn 4 ở tử và mẫu:

\(y = 3 – 5k\)

Bước 5: Kết luận nghiệm tổng quát

Vậy, các nghiệm nguyên của phương trình \(5x + 4y = 12\) là các cặp số \((x, y)\) có dạng:

\(x = 4k\)
\(y = 3 – 5k\)

Trong đó \(k\) là một số nguyên bất kỳ (\(k \in \mathbb{Z}\)).

Kiểm tra lại một vài trường hợp:

• Nếu \(k = 0\):
  \(x = 4(0) = 0\)
  \(y = 3 – 5(0) = 3\)
  Thay vào phương trình: \(5(0) + 4(3) = 0 + 12 = 12\). (Đúng!)
• Nếu \(k = 1\):
  \(x = 4(1) = 4\)
  \(y = 3 – 5(1) = 3 – 5 = -2\)
  Thay vào phương trình: \(5(4) + 4(-2) = 20 – 8 = 12\). (Đúng!)
• Nếu \(k = -1\):
  \(x = 4(-1) = -4\)
  \(y = 3 – 5(-1) = 3 + 5 = 8\)
  Thay vào phương trình: \(5(-4) + 4(8) = -20 + 32 = 12\). (Đúng!)

Qua các ví dụ trên, chúng ta thấy công thức nghiệm tổng quát là chính xác.

Chúc các em học tốt và hiểu rõ dạng bài này nhé!