Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán khá thú vị liên quan đến năng suất làm việc. Các em hãy chú ý lắng nghe và ghi chép lại nhé!

Bài toán: Hai tổ sản xuất cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 2 giờ. Hỏi nếu làm riêng một mình thì mỗi tổ cần bao nhiêu thời gian mới hoàn thành công việc, biết khi làm riêng tổ 1 hoàn thành sớm hơn tổ 2 là 3 giờ?

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về năng suất và phương trình. Các em hãy cùng thầy phân tích từng bước nhé.

Bước 1: Đặt ẩn và xác định các đại lượng cần tìm.

Gọi thời gian để tổ 1 hoàn thành công việc một mình là \(x\) (giờ).

Gọi thời gian để tổ 2 hoàn thành công việc một mình là \(y\) (giờ).

Theo đề bài, chúng ta có hai thông tin quan trọng:

1. Hai tổ làm chung hoàn thành trong 2 giờ.
2. Tổ 1 hoàn thành sớm hơn tổ 2 là 3 giờ.

Bước 2: Biểu diễn năng suất của mỗi tổ.

Năng suất của một tổ được hiểu là lượng công việc mà tổ đó hoàn thành trong một đơn vị thời gian (ở đây là 1 giờ).

Nếu tổ 1 hoàn thành công việc trong \(x\) giờ, thì trong 1 giờ, tổ 1 hoàn thành được \( \frac{1}{x} \) (công việc).

Nếu tổ 2 hoàn thành công việc trong \(y\) giờ, thì trong 1 giờ, tổ 2 hoàn thành được \( \frac{1}{y} \) (công việc).

Khi hai tổ làm chung, năng suất tổng cộng của hai tổ là \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) (công việc mỗi giờ).

Vì hai tổ làm chung hoàn thành công việc trong 2 giờ, nghĩa là trong 1 giờ, hai tổ hoàn thành được \( \frac{1}{2} \) (công việc).

Từ đó, ta có phương trình đầu tiên:

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \) (1)

Bước 3: Sử dụng thông tin về hiệu thời gian để lập phương trình thứ hai.

Đề bài cho biết tổ 1 hoàn thành sớm hơn tổ 2 là 3 giờ. Điều này có nghĩa là thời gian tổ 1 làm riêng ít hơn thời gian tổ 2 làm riêng là 3 giờ.

Do đó, ta có:

\( y – x = 3 \) (2)

Bước 4: Giải hệ phương trình.

Chúng ta có một hệ hai phương trình với hai ẩn \(x\) và \(y\):

\(\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ y – x = 3 \end{cases}\)

Từ phương trình (2), ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\):

\( y = x + 3 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ thế biểu thức của \(y\) vào phương trình (1):

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{2} \)

Để giải phương trình này, chúng ta quy đồng mẫu số:

\( \frac{(x + 3) + x}{x(x + 3)} = \frac{1}{2} \)

\( \frac{2x + 3}{x^2 + 3x} = \frac{1}{2} \)

Nhân chéo hai vế:

\( 2(2x + 3) = 1(x^2 + 3x) \)

\( 4x + 6 = x^2 + 3x \)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành phương trình bậc hai:

\( x^2 + 3x – 4x – 6 = 0 \)

\( x^2 – x – 6 = 0 \)

Chúng ta có thể giải phương trình bậc hai này bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm. Ở đây, thầy sẽ phân tích thành nhân tử.

Chúng ta cần tìm hai số mà tích của chúng bằng -6 và tổng của chúng bằng -1. Hai số đó là -3 và 2.

\( x^2 – 3x + 2x – 6 = 0 \)

\( x(x – 3) + 2(x – 3) = 0 \)

\( (x – 3)(x + 2) = 0 \)

Từ đây, ta có hai trường hợp:

• \( x – 3 = 0 \implies x = 3 \)
• \( x + 2 = 0 \implies x = -2 \)

Bước 5: Kiểm tra điều kiện của ẩn và kết luận.

Vì \(x\) là thời gian hoàn thành công việc, nên \(x\) phải là một số dương.

Do đó, trường hợp \(x = -2\) bị loại.

Chúng ta chọn \(x = 3\).

Bây giờ, chúng ta tìm \(y\) sử dụng mối quan hệ \(y = x + 3\):

\( y = 3 + 3 = 6 \)

Vậy, tổ 1 cần 3 giờ để hoàn thành công việc một mình, và tổ 2 cần 6 giờ để hoàn thành công việc một mình.

Kiểm tra lại:

• Năng suất tổ 1 là \( \frac{1}{3} \) (công việc/giờ).
• Năng suất tổ 2 là \( \frac{1}{6} \) (công việc/giờ).
• Năng suất chung: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) (công việc/giờ).
• Thời gian hoàn thành chung: \( \frac{1}{1/2} = 2 \) giờ. (Khớp với đề bài)
• Hiệu thời gian: \(6 – 3 = 3\) giờ. (Khớp với đề bài)

Kết luận:

Nếu làm riêng một mình, tổ 1 cần 3 giờ để hoàn thành công việc, và tổ 2 cần 6 giờ để hoàn thành công việc.

Các em thấy đó, với những kiến thức đã học, chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết được những bài toán thực tế như thế này. Hãy xem lại các bước giải và ghi nhớ phương pháp nhé!