Xin chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về phương trình nghiệm nguyên. Bài toán của chúng ta là:

Cho \(x, y \in \mathbb{N}^* \) và \(x \neq y\), tìm \(x, y\) biết:

\(x^y = y^x\)

Phân tích bài toán:

Chúng ta có một phương trình với hai biến nguyên dương \(x\) và \(y\). Điều kiện quan trọng là \(x\) và \(y\) phải khác nhau.

Cách giải:

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng có thể so sánh mũ.

Lấy logarit tự nhiên (ln) cả hai vế của phương trình \(x^y = y^x\):

\(\ln(x^y) = \ln(y^x)\)

Sử dụng quy tắc logarit \(\ln(a^b) = b \ln(a)\):

\(y \ln(x) = x \ln(y)\)

Chia cả hai vế cho \(xy\) (vì \(x, y \in \mathbb{N}^* \), nên \(x \neq 0\) và \(y \neq 0\)):

\(\frac{y \ln(x)}{xy} = \frac{x \ln(y)}{xy}\)

\(\frac{\ln(x)}{x} = \frac{\ln(y)}{y}\)

Bước 2: Xét hàm số \(f(t) = \frac{\ln(t)}{t}\) với \(t > 0\).

Ta cần tìm các giá trị \(x, y \in \mathbb{N}^* \), \(x \neq y\) sao cho \(f(x) = f(y)\).

Để làm điều này, chúng ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số \(f(t)\) bằng cách tính đạo hàm của nó.

Đạo hàm của \(f(t)\) là:

\(f'(t) = \frac{\frac{1}{t} \cdot t – \ln(t) \cdot 1}{t^2} = \frac{1 – \ln(t)}{t^2}\)

Bước 3: Xét dấu của đạo hàm \(f'(t)\) để xác định tính đơn điệu của hàm số.

Dấu của \(f'(t)\) phụ thuộc vào dấu của tử số \(1 – \ln(t)\) vì \(t^2 > 0\) với \(t > 0\).

Trường hợp 1: \(f'(t) > 0 \Leftrightarrow 1 – \ln(t) > 0 \Leftrightarrow \ln(t) < 1 \Leftrightarrow t < e\)

Trường hợp 2: \(f'(t) < 0 \Leftrightarrow 1 - \ln(t) < 0 \Leftrightarrow \ln(t) > 1 \Leftrightarrow t > e\)

Trường hợp 3: \(f'(t) = 0 \Leftrightarrow 1 – \ln(t) = 0 \Leftrightarrow \ln(t) = 1 \Leftrightarrow t = e\)

Nhận xét:

Vì \(e \approx 2.718\), nên:

– Hàm số \(f(t)\) đồng biến trên khoảng \((0, e)\).

– Hàm số \(f(t)\) nghịch biến trên khoảng \((e, +\infty)\).

– Hàm số \(f(t)\) đạt cực đại tại \(t = e\).

Bước 4: Tìm các giá trị nguyên dương \(x, y\) thỏa mãn \(f(x) = f(y)\) và \(x \neq y\).

Vì \(x, y\) là các số nguyên dương, chúng ta sẽ xem xét các giá trị nguyên dương nhỏ hơn \(e\) và lớn hơn \(e\).

Các số nguyên dương nhỏ hơn \(e \approx 2.718\) là 1 và 2.

Các số nguyên dương lớn hơn \(e\) là 3, 4, 5, …

Chúng ta có \(f(x) = f(y)\). Nếu \(x\) và \(y\) nằm cùng một khoảng đơn điệu (cùng đồng biến hoặc cùng nghịch biến) và \(x \neq y\), thì điều này là không thể xảy ra.

Do đó, một trong hai biến (ví dụ \(x\)) phải nhỏ hơn \(e\) và biến còn lại (ví dụ \(y\)) phải lớn hơn \(e\).

Xét các giá trị nguyên dương cho \(x < e\):

Trường hợp 1: \(x = 1\)

Thay \(x = 1\) vào phương trình \(f(x) = f(y)\):

\(f(1) = \frac{\ln(1)}{1} = \frac{0}{1} = 0\)

Ta có \(f(y) = 0 \Leftrightarrow \frac{\ln(y)}{y} = 0 \Leftrightarrow \ln(y) = 0 \Leftrightarrow y = 1\).

Tuy nhiên, đề bài yêu cầu \(x \neq y\). Do đó, \(x = 1\) không cho ta nghiệm thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(x = 2\)

Thay \(x = 2\) vào phương trình \(f(x) = f(y)\):

\(f(2) = \frac{\ln(2)}{2}\)

Ta cần tìm \(y > e\) sao cho \(f(y) = \frac{\ln(2)}{2}\).

Ta xét giá trị của hàm \(f(t)\) tại các số nguyên dương lớn hơn \(e\):

\(f(3) = \frac{\ln(3)}{3}\)

\(f(4) = \frac{\ln(4)}{4} = \frac{2 \ln(2)}{4} = \frac{\ln(2)}{2}\)

Ta thấy \(f(2) = f(4)\).

Vì \(x=2\) và \(y=4\) là các số nguyên dương, và \(x \neq y\), nên đây là một cặp nghiệm thỏa mãn đề bài.

Vậy, ta có một cặp nghiệm là \(x = 2, y = 4\).

Kiểm tra lại:

Với \(x = 2\) và \(y = 4\):

\(x^y = 2^4 = 16\)

\(y^x = 4^2 = 16\)

\(x^y = y^x\) là đúng.

Bước 5: Chứng minh không còn nghiệm nào khác.

Chúng ta đã xét \(x < e\). Các trường hợp \(x=1\) và \(x=2\) đã được xử lý.

Nếu \(x > e\), thì \(x\) nằm trong khoảng nghịch biến của \(f(t)\).

Nếu \(y > e\) và \(x \neq y\), thì do hàm \(f(t)\) nghịch biến trên \((e, +\infty)\), ta sẽ không có \(f(x) = f(y)\).

Vậy, để có \(f(x) = f(y)\) với \(x \neq y\), một trong hai biến phải nhỏ hơn \(e\) và biến còn lại lớn hơn \(e\).

Chúng ta đã xét \(x=1\) (không có nghiệm) và \(x=2\) (cho nghiệm \(y=4\)).

Nếu ta hoán đổi vai trò của \(x\) và \(y\), tức là \(y < e\) và \(x > e\).

Nếu \(y = 1\), ta có \(f(1)=0\), dẫn đến \(x=1\), mâu thuẫn với \(x \neq y\).

Nếu \(y = 2\), ta có \(f(2) = \frac{\ln(2)}{2}\). Ta tìm \(x > e\) sao cho \(f(x) = \frac{\ln(2)}{2}\). Chúng ta đã tìm được \(x=4\).

Vậy, cặp nghiệm \((x, y) = (2, 4)\) là nghiệm duy nhất.

Kết luận:

Vậy, các cặp số nguyên dương \(x, y\) thỏa mãn \(x^y = y^x\) và \(x \neq y\) là \(x = 2\) và \(y = 4\).

Các em đã hiểu rõ chưa nào? Bài toán này đòi hỏi sự kết hợp giữa biến đổi đại số và phân tích hàm số.

Đáp án: \(x = 2, y = 4\).