Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thực tế rất hay về năng suất. Đây là dạng bài thường gặp trong các kỳ thi, nên các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài: Một phân xưởng theo kế hoạch phải dệt 3000 tấm thảm. Trong 8 ngày đầu họ đã thực hiện được đúng kế hoạch, những ngày còn lại họ đã dệt vượt mức mỗi ngày 10 tấm, nên đã hoàn thành kế hoạch trước 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải dệt bao nhiêu tấm.

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và trình bày bài giải thật chi tiết từng bước một.

BÀI GIẢI CHI TIẾT

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bài toán hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải dệt bao nhiêu tấm. Đây chính là đại lượng chúng ta cần tìm.

Gọi số tấm thảm phân xưởng phải dệt trong một ngày theo kế hoạch là \(x\) (tấm/ngày).

Điều kiện: Vì số tấm thảm dệt được mỗi ngày phải là một số dương, nên \(x > 0\). Hơn nữa, \(x\) phải là một số nguyên.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng liên quan theo ẩn.

Chúng ta sẽ liệt kê và tính toán các thông tin theo cả “kế hoạch” và “thực tế”.

A. Theo kế hoạch:

• Tổng số tấm thảm phải dệt: 3000 tấm.
• Số tấm thảm dệt trong một ngày: \(x\) tấm/ngày.
• Thời gian dự kiến để hoàn thành công việc:
  \( \text{Thời gian kế hoạch} = \frac{\text{Tổng số thảm}}{\text{Số thảm dệt mỗi ngày}} = \frac{3000}{x} \) (ngày).

B. Thực tế sản xuất:

• Trong 8 ngày đầu:
  • Số ngày làm việc: 8 ngày.
  • Năng suất thực tế: Đúng theo kế hoạch, tức là \(x\) tấm/ngày.
  • Số tấm thảm đã dệt được trong 8 ngày đầu: \(8 \times x = 8x\) (tấm).
• Số tấm thảm còn lại phải dệt:
  • Tổng số thảm là 3000 tấm. Đã dệt được \(8x\) tấm.
  • Số tấm thảm còn lại là: \(3000 – 8x\) (tấm).
  • Điều kiện phụ: Để có tấm thảm còn lại để dệt thì \(3000 – 8x > 0 \Rightarrow 8x < 3000 \Rightarrow x < 375\).
• Đối với số tấm thảm còn lại:
  • Năng suất thực tế: Vượt mức mỗi ngày 10 tấm so với kế hoạch, tức là \(x + 10\) (tấm/ngày).
  • Thời gian để dệt hết số thảm còn lại:
    \( \text{Thời gian còn lại} = \frac{\text{Số thảm còn lại}}{\text{Năng suất thực tế sau 8 ngày}} = \frac{3000 – 8x}{x + 10} \) (ngày).
• Tổng thời gian thực tế để hoàn thành công việc:
  • Tổng thời gian thực tế bằng thời gian của 8 ngày đầu cộng với thời gian dệt số thảm còn lại.
  • \( \text{Tổng thời gian thực tế} = 8 + \frac{3000 – 8x}{x + 10} \) (ngày).

Bước 3: Lập phương trình dựa trên mối quan hệ giữa các đại lượng.

Đề bài cho biết: “đã hoàn thành kế hoạch trước 2 ngày”. Điều này có nghĩa là thời gian thực tế làm ít hơn thời gian dự kiến 2 ngày.

Ta có phương trình sau:

\( \text{Thời gian kế hoạch} – \text{Tổng thời gian thực tế} = 2 \)

\( \frac{3000}{x} – \left( 8 + \frac{3000 – 8x}{x + 10} \right) = 2 \)

Bước 4: Giải phương trình.

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình vừa lập:

\( \frac{3000}{x} – 8 – \frac{3000 – 8x}{x + 10} = 2 \)

Chuyển số hạng tự do sang vế phải:

\( \frac{3000}{x} – \frac{3000 – 8x}{x + 10} = 2 + 8 \)

\( \frac{3000}{x} – \frac{3000 – 8x}{x + 10} = 10 \)

Quy đồng mẫu số chung là \(x(x+10)\):

\( \frac{3000(x+10)}{x(x+10)} – \frac{(3000 – 8x)x}{x(x+10)} = 10 \)

Khử mẫu (nhân cả hai vế với \(x(x+10)\) và nhớ điều kiện \(x \neq 0, x \neq -10\), điều này đã được đảm bảo bởi điều kiện \(x>0\)):

\( 3000(x+10) – (3000 – 8x)x = 10x(x+10) \)

Thực hiện phép nhân và phân phối:

\( 3000x + 30000 – (3000x – 8x^2) = 10x^2 + 100x \)

Bỏ ngoặc (chú ý đổi dấu các hạng tử bên trong ngoặc):

\( 3000x + 30000 – 3000x + 8x^2 = 10x^2 + 100x \)

Rút gọn các hạng tử tương tự ở vế trái:

\( 30000 + 8x^2 = 10x^2 + 100x \)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để đưa về phương trình bậc hai dạng \(ax^2 + bx + c = 0\):

\( 0 = 10x^2 – 8x^2 + 100x – 30000 \)

\( 2x^2 + 100x – 30000 = 0 \)

Chia cả hai vế cho 2 để đơn giản phương trình:

\( x^2 + 50x – 15000 = 0 \)

Giải phương trình bậc hai này. Ta có \(a=1, b=50, c=-15000\).

Tính biệt thức Delta (\(\Delta\)):

\( \Delta = b^2 – 4ac \)

\( \Delta = (50)^2 – 4 \times 1 \times (-15000) \)

\( \Delta = 2500 + 60000 \)

\( \Delta = 62500 \)

Tính căn bậc hai của Delta:

\( \sqrt{\Delta} = \sqrt{62500} = 250 \)

Tìm các nghiệm của phương trình:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-50 + 250}{2 \times 1} = \frac{200}{2} = 100 \)

\( x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-50 – 250}{2 \times 1} = \frac{-300}{2} = -150 \)

Bước 5: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Chúng ta có hai nghiệm là \(x_1 = 100\) và \(x_2 = -150\).

• Với \(x = 100\):
  • Thỏa mãn điều kiện \(x > 0\).
  • Thỏa mãn điều kiện \(x < 375\) (vì \(100 < 375\)).
  • Đây là nghiệm hợp lệ.
• Với \(x = -150\):
  • Không thỏa mãn điều kiện \(x > 0\) (vì số tấm thảm dệt mỗi ngày không thể là số âm).
  • Đây là nghiệm không hợp lệ.

Vậy, theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải dệt 100 tấm thảm.

Kiểm tra lại (không bắt buộc ghi vào bài làm, nhưng rất tốt để tự kiểm tra):

• Kế hoạch: 3000 tấm, mỗi ngày 100 tấm. Thời gian kế hoạch: \(3000/100 = 30\) ngày.
• Thực tế:
  • 8 ngày đầu: \(8 \times 100 = 800\) tấm.
  • Số thảm còn lại: \(3000 – 800 = 2200\) tấm.
  • Năng suất sau 8 ngày: \(100 + 10 = 110\) tấm/ngày.
  • Thời gian dệt số thảm còn lại: \(2200 / 110 = 20\) ngày.
  • Tổng thời gian thực tế: \(8 + 20 = 28\) ngày.
• So sánh: Thời gian kế hoạch (30 ngày) – Thời gian thực tế (28 ngày) = 2 ngày. Đúng là hoàn thành trước 2 ngày.

Kết quả hoàn toàn chính xác!

Đáp số: Theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải dệt 100 tấm thảm.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách trình bày và giải quyết dạng toán năng suất này nhé! Chúc các em học tốt!