Bài toán như sau:

Cho 2018 số tự nhiên. Hỏi có ít nhất bao nhiêu số có hiệu chia hết cho 2017?

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng Nguyên lý Dirichlet, hay còn gọi là nguyên lý chuồng bồ câu.

Chúng ta có 2018 số tự nhiên. Hãy gọi chúng là \(a_1, a_2, a_3, …, a_{2018}\).

Yêu cầu của bài toán là tìm xem có ít nhất bao nhiêu cặp số trong danh sách này mà hiệu của chúng chia hết cho 2017.

Khi chúng ta xét một số tự nhiên bất kỳ và chia cho 2017, số dư có thể nhận các giá trị từ 0 đến 2016.
Tức là, có tất cả 2017 giá trị có thể có cho số dư khi chia cho 2017.

Chúng ta có thể biểu diễn mỗi số tự nhiên \(a_i\) dưới dạng:

\(a_i = 2017 \cdot q_i + r_i\)

trong đó \(q_i\) là thương số và \(r_i\) là số dư, với \(r_i \in \{0, 1, 2, …, 2016\}\).

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét các số dư khi chia mỗi số tự nhiên trong 2018 số đã cho cho 2017.

Chúng ta có 2018 số tự nhiên, và mỗi số sẽ có một số dư khi chia cho 2017.
Các số dư có thể có là: 0, 1, 2, …, 2016.
Như vậy, chúng ta có tổng cộng 2017 “chuồng” (các giá trị của số dư).

Chúng ta có 2018 “con bồ câu” (2018 số tự nhiên).
Theo Nguyên lý Dirichlet, nếu chúng ta có nhiều “con bồ câu” hơn số “chuồng”, thì ít nhất một “chuồng” sẽ chứa nhiều hơn một “con bồ câu”.

Trong trường hợp này, chúng ta có 2018 số tự nhiên và 2017 giá trị khác nhau cho số dư khi chia cho 2017.
Do đó, theo Nguyên lý Dirichlet, phải có ít nhất một số dư lặp lại.

Điều này có nghĩa là sẽ có ít nhất hai số tự nhiên trong danh sách 2018 số đó có cùng số dư khi chia cho 2017.

Giả sử có hai số là \(a_i\) và \(a_j\) (với \(i \neq j\)) có cùng số dư khi chia cho 2017.
Ta có:

\(a_i = 2017 \cdot q_i + r\)
\(a_j = 2017 \cdot q_j + r\)

trong đó \(r\) là số dư chung.

Xét hiệu của hai số này:

\(a_i – a_j = (2017 \cdot q_i + r) – (2017 \cdot q_j + r)\)
\(a_i – a_j = 2017 \cdot q_i + r – 2017 \cdot q_j – r\)
\(a_i – a_j = 2017 \cdot q_i – 2017 \cdot q_j\)
\(a_i – a_j = 2017 \cdot (q_i – q_j)\)

Biểu thức \(a_i – a_j = 2017 \cdot (q_i – q_j)\) cho thấy hiệu \(a_i – a_j\) là một bội số của 2017.
Nói cách khác, hiệu \(a_i – a_j\) chia hết cho 2017.

Vậy, từ 2018 số tự nhiên, luôn tồn tại ít nhất hai số có hiệu chia hết cho 2017.

Kết luận:

Với 2018 số tự nhiên, có ít nhất 2 số có hiệu chia hết cho 2017.

Bài học hôm nay đến đây là kết thúc. Các em về nhà ôn lại kiến thức về Nguyên lý Dirichlet nhé!