Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại một kiến thức quan trọng về hàm số bậc hai. Thầy sẽ hướng dẫn các em phát biểu định nghĩa về điều kiện để biểu thức \(f(x) = ax^2 + bx + c\) luôn luôn không âm với mọi số thực \(x\).

Chúng ta có hàm số bậc hai có dạng:

\(f(x) = ax^2 + bx + c\) (với \(a \neq 0\)).

Câu hỏi đặt ra là: Làm thế nào để biểu thức \(f(x)\) này luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0, tức là \(f(x) \geq 0\), với mọi giá trị của \(x\)?

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần xem xét hai yếu tố quan trọng: hệ số \(a\) và biệt thức \( \Delta \).

1. Vai trò của hệ số \(a\):

Đồ thị của hàm số bậc hai là một parabol.

Nếu \(a > 0\), parabol có bề lõm quay lên trên.

Nếu \(a < 0\), parabol có bề lõm quay xuống dưới.

Để \(f(x)\) luôn luôn không âm (\(f(x) \geq 0\)), đồ thị parabol không được “cắt” trục hoành tại hai điểm phân biệt và cũng không được nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành. Điều này gợi ý rằng bề lõm của parabol phải hướng lên trên. Do đó, điều kiện đầu tiên là:

\(a > 0\)

2. Vai trò của biệt thức \( \Delta \):

Biệt thức \( \Delta \) của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) được tính bởi công thức:

\( \Delta = b^2 – 4ac \)

Hoặc đối với phương trình có dạng \(ax^2 + 2b’x + c = 0\), biệt thức thu gọn \( \Delta’ \) được tính bởi công thức:

\( \Delta’ = (b’)^2 – ac \)

Biệt thức cho chúng ta biết số nghiệm của phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\), tương ứng với số giao điểm của parabol \(y = ax^2 + bx + c\) với trục hoành \(y = 0\).

• Nếu \( \Delta > 0 \) (\( \Delta’ > 0 \)), phương trình có hai nghiệm phân biệt, parabol cắt trục hoành tại hai điểm.
• Nếu \( \Delta = 0 \) (\( \Delta’ = 0 \)), phương trình có nghiệm kép, parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm.
• Nếu \( \Delta < 0 \) (\( \Delta' < 0 \)), phương trình vô nghiệm, parabol không cắt trục hoành.

Để \(f(x)\) luôn luôn không âm (\(f(x) \geq 0\)), parabol phải nằm phía trên hoặc tiếp xúc với trục hoành. Điều này có nghĩa là parabol không được cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt (vì khi đó sẽ có những giá trị \(x\) mà \(f(x) < 0\)).

Do đó, chúng ta cần một trong hai trường hợp sau:

• Parabol tiếp xúc với trục hoành (có nghiệm kép): \( \Delta = 0 \) (\( \Delta’ = 0 \)).
• Parabol không cắt trục hoành (vô nghiệm): \( \Delta < 0 \) (\( \Delta' < 0 \)).

Kết hợp cả hai trường hợp trên, chúng ta có điều kiện cho biệt thức là:

\( \Delta \leq 0 \) (hoặc \( \Delta’ \leq 0 \))

Tổng kết lại, ta có định nghĩa:

Biểu thức \(f(x) = ax^2 + bx + c\) (với \(a \neq 0\)) luôn luôn không âm (\(f(x) \geq 0\)) với mọi số thực \(x\) khi và chỉ khi hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:

1. \(a > 0\)
2. \( \Delta \leq 0 \) (hoặc \( \Delta’ \leq 0 \))

Các em ghi nhớ nhé! Đây là một kiến thức rất quan trọng và sẽ giúp ích cho chúng ta trong nhiều bài toán sau này.

Có em nào có câu hỏi gì không ạ?