Bài toán: Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\) và một điểm \(M\) bất kỳ nằm trên mặt phẳng. Hãy phát biểu Bất đẳng thức Leibniz liên hệ giữa tổng bình phương khoảng cách từ \(M\) đến 3 đỉnh (\(MA^2 + MB^2 + MC^2\)) và tổng bình phương các cạnh của tam giác. Dấu đẳng thức xảy ra (đạt giá trị nhỏ nhất) khi điểm \(M\) trùng với vị trí hình học đặc biệt nào?

Lời giải:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ. Giả sử tam giác \(ABC\) có các đỉnh lần lượt là \(A(x_A, y_A)\), \(B(x_B, y_B)\), \(C(x_C, y_C)\) và điểm \(M\) có tọa độ \(M(x, y)\).

Theo công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ, ta có:

\(MA^2 = (x – x_A)^2 + (y – y_A)^2 = x^2 – 2xx_A + x_A^2 + y^2 – 2yy_A + y_A^2\)

\(MB^2 = (x – x_B)^2 + (y – y_B)^2 = x^2 – 2xx_B + x_B^2 + y^2 – 2yy_B + y_B^2\)

\(MC^2 = (x – x_C)^2 + (y – y_C)^2 = x^2 – 2xx_C + x_C^2 + y^2 – 2yy_C + y_C^2\)

Cộng ba đẳng thức trên lại, ta được:

\(MA^2 + MB^2 + MC^2 = (x^2 – 2xx_A + x_A^2 + y^2 – 2yy_A + y_A^2) + (x^2 – 2xx_B + x_B^2 + y^2 – 2yy_B + y_B^2) + (x^2 – 2xx_C + x_C^2 + y^2 – 2yy_C + y_C^2)\)

\(MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3x^2 – 2x(x_A + x_B + x_C) + (x_A^2 + x_B^2 + x_C^2) + 3y^2 – 2y(y_A + y_B + y_C) + (y_A^2 + y_B^2 + y_C^2)\)

Ta biết rằng tọa độ của trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) được tính bằng công thức:

\(x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}\) và \(y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\)

Suy ra: \(x_A + x_B + x_C = 3x_G\) và \(y_A + y_B + y_C = 3y_G\)

Thay vào biểu thức trên:

\(MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3x^2 – 2x(3x_G) + (x_A^2 + x_B^2 + x_C^2) + 3y^2 – 2y(3y_G) + (y_A^2 + y_B^2 + y_C^2)\)

\(MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3x^2 – 6xx_G + 3y^2 – 6yy_G + (x_A^2 + x_B^2 + x_C^2) + (y_A^2 + y_B^2 + y_C^2)\)

Bây giờ, chúng ta xét tới bình phương khoảng cách từ \(M\) đến \(G\):

\(MG^2 = (x – x_G)^2 + (y – y_G)^2 = x^2 – 2xx_G + x_G^2 + y^2 – 2yy_G + y_G^2\)

Ta có thể viết lại biểu thức \(MA^2 + MB^2 + MC^2\) như sau:

\(MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3(x^2 – 2xx_G + x_G^2) + 3(y^2 – 2yy_G + y_G^2) – 3x_G^2 – 3y_G^2 + (x_A^2 + x_B^2 + x_C^2) + (y_A^2 + y_B^2 + y_C^2)\)

\(MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + (x_A^2 + x_B^2 + x_C^2 – 3x_G^2) + (y_A^2 + y_B^2 + y_C^2 – 3y_G^2)\)

Bây giờ, ta hãy xem xét biểu thức \(GA^2 + GB^2 + GC^2\).

\(GA^2 = (x_A – x_G)^2 + (y_A – y_G)^2 = x_A^2 – 2x_Ax_G + x_G^2 + y_A^2 – 2y_Ay_G + y_G^2\)

\(GB^2 = (x_B – x_G)^2 + (y_B – y_G)^2 = x_B^2 – 2x_Bx_G + x_G^2 + y_B^2 – 2y_By_G + y_G^2\)

\(GC^2 = (x_C – x_G)^2 + (y_C – y_G)^2 = x_C^2 – 2x_Cx_G + x_G^2 + y_C^2 – 2y_Cy_G + y_G^2\)

Cộng ba đẳng thức trên:

\(GA^2 + GB^2 + GC^2 = (x_A^2 + x_B^2 + x_C^2) – 2x_G(x_A + x_B + x_C) + 3x_G^2 + (y_A^2 + y_B^2 + y_C^2) – 2y_G(y_A + y_B + y_C) + 3y_G^2\)

Vì \(x_A + x_B + x_C = 3x_G\) và \(y_A + y_B + y_C = 3y_G\), ta có:

\(GA^2 + GB^2 + GC^2 = (x_A^2 + x_B^2 + x_C^2) – 2x_G(3x_G) + 3x_G^2 + (y_A^2 + y_B^2 + y_C^2) – 2y_G(3y_G) + 3y_G^2\)

\(GA^2 + GB^2 + GC^2 = (x_A^2 + x_B^2 + x_C^2) – 6x_G^2 + 3x_G^2 + (y_A^2 + y_B^2 + y_C^2) – 6y_G^2 + 3y_G^2\)

\(GA^2 + GB^2 + GC^2 = (x_A^2 + x_B^2 + x_C^2) – 3x_G^2 + (y_A^2 + y_B^2 + y_C^2) – 3y_G^2\)

Từ đó, ta suy ra:

\((x_A^2 + x_B^2 + x_C^2 – 3x_G^2) + (y_A^2 + y_B^2 + y_C^2 – 3y_G^2) = GA^2 + GB^2 + GC^2\)

Thay vào biểu thức của \(MA^2 + MB^2 + MC^2\):

\(MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2\)

Đây chính là Bất đẳng thức Leibniz!

Phát biểu Bất đẳng thức Leibniz:

Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Với mọi điểm \(M\) trên mặt phẳng, ta có:

\(MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2\)

Bất đẳng thức này còn có thể được phát biểu dưới dạng:

\(MA^2 + MB^2 + MC^2 \ge GA^2 + GB^2 + GC^2\)

với \(3MG^2 \ge 0\).

Dấu đẳng thức xảy ra:

Dấu đẳng thức trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi \(3MG^2 = 0\), điều này tương đương với \(MG = 0\).

Do đó, dấu đẳng thức xảy ra khi điểm \(M\) trùng với điểm \(G\).

Vị trí hình học đặc biệt:

Khi điểm \(M\) trùng với vị trí hình học đặc biệt, tức là trùng với trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).

Như vậy, chúng ta đã tìm ra Bất đẳng thức Leibniz và xác định được vị trí mà tổng bình phương khoảng cách từ \(M\) đến các đỉnh của tam giác đạt giá trị nhỏ nhất. Đó chính là khi \(M\) trùng với trọng tâm \(G\).