1. Phát biểu Bất đẳng thức Weitzenböck:

Bất đẳng thức Weitzenböck phát biểu rằng, với một tam giác bất kỳ có độ dài ba cạnh là \(a, b, c\) và diện tích là \(S\), ta luôn có:

\(a^2 + b^2 + c^2 \ge 4\sqrt{3}S\)

Điều này có nghĩa là, tổng bình phương độ dài ba cạnh của một tam giác sẽ luôn lớn hơn hoặc bằng 4 lần căn bậc hai của 3 nhân với diện tích của tam giác đó.

2. Điều kiện cần và đủ để dấu “=” xảy ra:

Dấu “=” trong bất đẳng thức Weitzenböck xảy ra khi và chỉ khi tam giác đó là tam giác đều.

Nói cách khác, điều kiện cần và đủ của các cạnh \(a, b, c\) để dấu “=” xảy ra là \(a = b = c\).

3. Hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức này khi áp dụng vào tam giác đều:

Khi áp dụng bất đẳng thức Weitzenböck vào một tam giác đều có cạnh là \(a\), ta có:

• Độ dài ba cạnh đều là \(a\), tức là \(a = b = c\).
• Diện tích \(S\) của tam giác đều cạnh \(a\) được tính bằng công thức: \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).

Thay các giá trị này vào bất đẳng thức Weitzenböck:

\(a^2 + a^2 + a^2 \ge 4\sqrt{3} \left(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right)\)

\(3a^2 \ge 4 \cdot \frac{a^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{4}\)

\(3a^2 \ge 4 \cdot \frac{a^2 \cdot 3}{4}\)

\(3a^2 \ge 3a^2\)

Ta thấy rằng, khi áp dụng vào tam giác đều, bất đẳng thức trở thành một đẳng thức, tức là dấu “=” xảy ra. Điều này hoàn toàn khớp với điều kiện chúng ta đã phát biểu ở phần 2.

Hệ quả trực tiếp khi áp dụng vào tam giác đều chính là việc chứng minh được rằng, trong tất cả các tam giác có cùng diện tích, tam giác đều là tam giác có tổng bình phương độ dài ba cạnh là nhỏ nhất. Hoặc, với một tam giác đều, tỉ lệ giữa tổng bình phương độ dài ba cạnh và diện tích của nó là một hằng số, cụ thể là:

\(\frac{a^2 + b^2 + c^2}{S} = \frac{3a^2}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}} = \frac{3a^2 \cdot 4}{a^2\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\)

Hy vọng qua bài giảng này, các em đã hiểu rõ hơn về Bất đẳng thức Weitzenböck. Chúng ta sẽ cùng nhau luyện tập thêm các bài tập vận dụng bất đẳng thức này trong các tiết học tiếp theo!