Bài toán: Cho hai dãy số thực cùng chiều (cùng tăng hoặc cùng giảm) là \(a₁ ≤ a₂ ≤ a₃\) và \(b₁ ≤ b₂ ≤ b₃\). Hãy phát biểu bất đẳng thức Chebyshev liên hệ giữa tích các trung bình cộng và trung bình cộng các tích của hai dãy này. Bất đẳng thức sẽ đổi chiều như thế nào nếu hai dãy số trên ngược chiều nhau? Dấu = xảy ra khi nào?

Lời giải chi tiết:

1. Phát biểu bất đẳng thức Chebyshev:

Cho hai dãy số thực \(a₁, a₂, a₃\) và \(b₁, b₂, b₃\) cùng chiều, tức là:
\(a₁ ≤ a₂ ≤ a₃\) và \(b₁ ≤ b₂ ≤ b₃\)
hoặc
\(a₁ ≥ a₂ ≥ a₃\) và \(b₁ ≥ b₂ ≥ b₃\)

Khi đó, bất đẳng thức Chebyshev phát biểu như sau:

Tích của các trung bình cộng của hai dãy không nhỏ hơn trung bình cộng của các tích tương ứng của hai dãy.

Nói cách khác, ta có bất đẳng thức:

\[ \frac{a₁ + a₂ + a₃}{3} \cdot \frac{b₁ + b₂ + b₃}{3} \ge \frac{a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃}{3} \]

Chúng ta có thể viết gọn lại như sau:

\[ \frac{1}{3} \sum_{i=1}^3 a_i \cdot \frac{1}{3} \sum_{i=1}^3 b_i \ge \frac{1}{3} \sum_{i=1}^3 (a_ib_i) \]

Hoặc

\[ \frac{1}{9} (\sum_{i=1}^3 a_i) (\sum_{i=1}^3 b_i) \ge \frac{1}{3} \sum_{i=1}^3 (a_ib_i) \]

Để hiểu rõ hơn, chúng ta có thể nhân cả hai vế với 9:

\[ (a₁ + a₂ + a₃)(b₁ + b₂ + b₃) \ge 3(a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃) \]

Chứng minh sơ lược:

Chúng ta xét hiệu:

\[ \frac{(a₁ + a₂ + a₃)(b₁ + b₂ + b₃)}{9} – \frac{a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃}{3} \]

Sau khi quy đồng và biến đổi, chúng ta sẽ thấy hiệu này luôn không âm.

Cụ thể, ta có thể viết lại như sau:

\[ \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_i b_j = (\sum_{i=1}^3 a_i)(\sum_{j=1}^3 b_j) \]

Xét:

\[ \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 (a_i – a_j)(b_i – b_j) \]

Vì hai dãy cùng chiều, nên nếu \(a_i \ge a_j\) thì \(b_i \ge b_j\) (hoặc ngược lại, nếu \(a_i \le a_j\) thì \(b_i \le b_j\)). Do đó, \( (a_i – a_j)(b_i – b_j) \ge 0 \) với mọi \(i, j\).

Ta có:

\[ \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 (a_i – a_j)(b_i – b_j) = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 (a_ib_i – a_ib_j – a_jb_i + a_jb_j) \]

\[ = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_ib_i – \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_ib_j – \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_jb_i + \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_jb_j \]

Quan sát các tổng:

\[ \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_ib_i = 3 \sum_{i=1}^3 a_ib_i \]

\[ \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_ib_j = (\sum_{i=1}^3 a_i)(\sum_{j=1}^3 b_j) \]

\[ \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_jb_i = (\sum_{j=1}^3 a_j)(\sum_{i=1}^3 b_i) = (\sum_{i=1}^3 a_i)(\sum_{i=1}^3 b_i) \]

\[ \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_jb_j = 3 \sum_{j=1}^3 a_jb_j = 3 \sum_{i=1}^3 a_ib_i \]

Thay vào:

\[ 3 \sum_{i=1}^3 a_ib_i – (\sum_{i=1}^3 a_i)(\sum_{i=1}^3 b_i) – (\sum_{i=1}^3 a_i)(\sum_{i=1}^3 b_i) + 3 \sum_{i=1}^3 a_ib_i \ge 0 \]

\[ 6 \sum_{i=1}^3 a_ib_i – 2 (\sum_{i=1}^3 a_i)(\sum_{i=1}^3 b_i) \ge 0 \]

\[ 3 \sum_{i=1}^3 a_ib_i \ge (\sum_{i=1}^3 a_i)(\sum_{i=1}^3 b_i) \]

Chia cả hai vế cho 9:

\[ \frac{3 \sum_{i=1}^3 a_ib_i}{9} \ge \frac{(\sum_{i=1}^3 a_i)(\sum_{i=1}^3 b_i)}{9} \]

\[ \frac{\sum_{i=1}^3 a_ib_i}{3} \ge (\frac{\sum_{i=1}^3 a_i}{3}) (\frac{\sum_{i=1}^3 b_i}{3}) \]

Đây chính là bất đẳng thức Chebyshev mà chúng ta cần phát biểu.

2. Bất đẳng thức đổi chiều khi hai dãy số ngược chiều nhau:

Nếu hai dãy số trên ngược chiều nhau, ví dụ:

\(a₁ ≤ a₂ ≤ a₃\) và \(b₁ ≥ b₂ ≥ b₃\)

hoặc

\(a₁ ≥ a₂ ≥ a₃\) và \(b₁ ≤ b₂ ≤ b₃\)

Khi đó, bất đẳng thức Chebyshev sẽ đổi chiều:

Trung bình cộng của các tích tương ứng của hai dãy không nhỏ hơn tích các trung bình cộng của hai dãy.

Nói cách khác, ta có bất đẳng thức:

\[ \frac{a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃}{3} \le \frac{a₁ + a₂ + a₃}{3} \cdot \frac{b₁ + b₂ + b₃}{3} \]

Hoặc viết gọn lại:

\[ \frac{1}{3} \sum_{i=1}^3 (a_ib_i) \le \frac{1}{3} \sum_{i=1}^3 a_i \cdot \frac{1}{3} \sum_{i=1}^3 b_i \]

Giải thích: Khi các dãy ngược chiều, thì với \(a_i\) lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) thì \(b_i\) sẽ nhỏ hơn (hoặc lớn hơn). Điều này dẫn đến việc các tích \(a_ib_i\) có xu hướng nhỏ hơn khi các \(a_i\) và \(b_i\) cùng lớn lên hoặc cùng nhỏ đi, làm cho trung bình cộng của các tích nhỏ hơn so với tích của các trung bình cộng.

3. Dấu = xảy ra khi nào?

Trong cả hai trường hợp (hai dãy cùng chiều hoặc ngược chiều), dấu bằng trong bất đẳng thức Chebyshev xảy ra khi:

Một trong hai dãy số là dãy các hằng số.

Nói cách khác, dấu = xảy ra khi:

• \(a₁ = a₂ = a₃\)
• hoặc
• \(b₁ = b₂ = b₃\)

Ví dụ:

Nếu \(a₁ = a₂ = a₃ = c\), thì:

\[ \frac{c + c + c}{3} \cdot \frac{b₁ + b₂ + b₃}{3} = c \cdot \frac{b₁ + b₂ + b₃}{3} = \frac{cb₁ + cb₂ + cb₃}{3} \]

\[ \frac{a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃}{3} = \frac{cb₁ + cb₂ + cb₃}{3} \]

Do đó, dấu bằng xảy ra.

Tóm lại: Bất đẳng thức Chebyshev là một công cụ mạnh mẽ để so sánh giữa tích các trung bình cộng và trung bình cộng các tích. Nó cho chúng ta thấy mối liên hệ giữa sự đơn điệu của hai dãy số và các đại lượng này.

Các em về nhà xem lại bài và làm thêm các bài tập vận dụng nhé!