Chào các em học sinh yêu quý! Thật vui khi được hướng dẫn các em giải một bài toán đại số rất hay và thú vị trong chương trình Toán lớp 7 của chúng ta. Bài toán này không chỉ giúp chúng ta ôn lại các hằng đẳng thức đáng nhớ mà còn rèn luyện tư duy logic khi chứng minh các mệnh đề “nếu và chỉ nếu”.

Đề bài: Cho \(a\) \(+\) \(b\) \(+\) \(c\) \(=\) \(0\). Chứng minh rằng \(a^2\) \(+\) \(b^2\) \(+\) \(c^2\) \(=\) \(2\)\((\)\(ab\) \(+\) \(bc\) \(+\) \(ca\)\()\) nếu và chỉ nếu \(a\) \(=\) \(b\) \(=\) \(c\) \(=\) \(0\).

Để chứng minh một mệnh đề dạng “P nếu và chỉ nếu Q” (ở đây P là điều kiện \(a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab + bc + ca)\) và Q là điều kiện \(a = b = c = 0\)), khi chúng ta đã có sẵn một điều kiện ban đầu là \(a + b + c = 0\), chúng ta cần chứng minh hai chiều sau:

1. Chiều thuận: Nếu \(a = b = c = 0\), thì điều kiện \(a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab + bc + ca)\) đúng (đồng thời điều kiện \(a + b + c = 0\) cũng đúng).

2. Chiều đảo: Nếu điều kiện \(a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab + bc + ca)\) đúng (cùng với điều kiện \(a + b + c = 0\)), thì chúng ta suy ra được \(a = b = c = 0\).

Chúng ta hãy cùng giải quyết từng chiều một nhé!

Phần 1: Chứng minh chiều thuận

Giả sử rằng \(a = b = c = 0\).

Chúng ta cần kiểm tra xem với giả thiết này, các điều kiện trong đề bài có thỏa mãn không.

Bước 1: Kiểm tra điều kiện ban đầu \(a + b + c = 0\)
Thay \(a = 0, b = 0, c = 0\) vào biểu thức \(a + b + c\), ta được:
\(0 + 0 + 0 = 0\)
Điều kiện này đúng. Vậy giả thiết của đề bài được thỏa mãn.

Bước 2: Kiểm tra điều kiện \(a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab + bc + ca)\)
Thay \(a = 0, b = 0, c = 0\) vào vế trái của đẳng thức:
\(a^2 + b^2 + c^2 = 0^2 + 0^2 + 0^2 = 0 + 0 + 0 = 0\)

Thay \(a = 0, b = 0, c = 0\) vào vế phải của đẳng thức:
\(2(ab + bc + ca) = 2(0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0)\)
\( = 2(0 + 0 + 0)\)
\( = 2(0)\)
\( = 0\)

Vì vế trái bằng 0 và vế phải cũng bằng 0, nên đẳng thức \(a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab + bc + ca)\) là đúng khi \(a = b = c = 0\).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong chiều thuận: Nếu \(a = b = c = 0\), thì điều kiện của đề bài được thỏa mãn.

Phần 2: Chứng minh chiều đảo

Bây giờ, chúng ta sẽ giả sử rằng hai điều kiện sau cùng đúng:

Điều kiện 1: \(a + b + c = 0\) (điều kiện đã cho ban đầu)
Điều kiện 2: \(a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab + bc + ca)\) (điều kiện trong phần “chứng minh rằng”)

Chúng ta cần chứng minh rằng từ hai điều kiện này, chúng ta suy ra được \(a = b = c = 0\).

Bước 1: Khai thác điều kiện \(a + b + c = 0\)
Từ điều kiện \(a + b + c = 0\), chúng ta có thể bình phương cả hai vế:
\((a + b + c)^2 = 0^2\)
\((a + b + c)^2 = 0\)

Chúng ta nhớ lại hằng đẳng thức mở rộng cho bình phương của một tổng ba số:
\((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\)
\((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)\)

Vậy, từ \((a + b + c)^2 = 0\), ta có:
\(a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0\) (Đây là phương trình thứ nhất mà chúng ta có)

Bước 2: Kết hợp với điều kiện thứ hai \(a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab + bc + ca)\)
Điều kiện thứ hai mà đề bài yêu cầu chứng minh là:
\(a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab + bc + ca)\) (Đây là phương trình thứ hai mà chúng ta có)

Bây giờ, chúng ta hãy nhìn vào phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai. Các em có thấy vế trái của phương trình thứ hai chính là một phần của phương trình thứ nhất không?

Chúng ta có thể thay thế \(a^2 + b^2 + c^2\) trong phương trình thứ nhất bằng \(2(ab + bc + ca)\) (từ phương trình thứ hai):
Thế \(a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab + bc + ca)\) vào phương trình \(a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0\), ta được:
\({\color{red}2(ab + bc + ca)} + 2(ab + bc + ca) = 0\)
\(4(ab + bc + ca) = 0\)

Chia cả hai vế cho 4, ta được:
\(ab + bc + ca = 0\)

Bước 3: Sử dụng kết quả vừa tìm được để suy ra \(a = b = c = 0\)
Chúng ta vừa tìm được \(ab + bc + ca = 0\). Bây giờ, hãy quay lại với điều kiện thứ hai ban đầu:
\(a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab + bc + ca)\)

Thay \(ab + bc + ca = 0\) vào đẳng thức này:
\(a^2 + b^2 + c^2 = 2(0)\)
\(a^2 + b^2 + c^2 = 0\)

Đây là một kết quả rất quan trọng, các em ạ! Với các số thực \(a, b, c\), tổng bình phương của chúng bằng 0 chỉ khi và chỉ khi từng số hạng bình phương đó bằng 0.

Tức là:
\(a^2 = 0 \implies a = 0\)
\(b^2 = 0 \implies b = 0\)
\(c^2 = 0 \implies c = 0\)

Vậy, từ các điều kiện đã cho, chúng ta đã suy ra được \(a = b = c = 0\).

Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh được cả hai chiều của mệnh đề:

• Nếu \(a = b = c = 0\), thì các điều kiện trong đề bài đều đúng.
• Nếu \(a + b + c = 0\) và \(a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab + bc + ca)\), thì suy ra \(a = b = c = 0\).

Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng mệnh đề “Cho \(a + b + c = 0\). Chứng minh rằng \(a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab + bc + ca)\) nếu và chỉ nếu \(a = b = c = 0\)” là hoàn toàn đúng.

Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các hằng đẳng thức và biết cách biến đổi linh hoạt giữa các biểu thức. Cố gắng luyện tập thêm để thành thạo dạng bài này nhé các em!