Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nhé. Đây là một dạng bài rất quan trọng và thường gặp trong chương trình Toán lớp 8. Khi phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta thường tìm cách nhóm các hạng tử để xuất hiện các hằng đẳng thức đáng nhớ như bình phương của một tổng/hiệu, hoặc hiệu hai bình phương.

Các em hãy cùng theo dõi lời giải chi tiết dưới đây. Nếu có chỗ nào chưa rõ, đừng ngần ngại hỏi lại cô nhé!

***

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(x^2 + 9 – 16y^2 + 6x\)

Lời giải chi tiết:

Chúng ta hãy sắp xếp lại các hạng tử để dễ nhìn ra hằng đẳng thức hơn nhé:

\(x^2 + 9 – 16y^2 + 6x\)

Đầu tiên, cô sẽ nhóm các hạng tử có chứa \(x\) và số hạng tự do:

\(= (x^2 + 6x + 9) – 16y^2\)

Các em có nhận ra biểu thức trong ngoặc đơn \((x^2 + 6x + 9)\) là hằng đẳng thức nào không? Chính xác rồi, đó là bình phương của một tổng: \((x+3)^2\).

Vậy, ta có:

\(= (x+3)^2 – 16y^2\)

Tiếp theo, chúng ta thấy \(16y^2\) có thể viết thành \((4y)^2\).

Vậy biểu thức trở thành:

\(= (x+3)^2 – (4y)^2\)

Đây chính là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\).

Với \(A = x+3\) và \(B = 4y\).

Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:

\(= (x+3 – 4y)(x+3 + 4y)\)

Vậy, kết quả cuối cùng là:

\(x^2 + 9 – 16y^2 + 6x = (x+3 – 4y)(x+3 + 4y)\)

***

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(x^2 – 9 + y^2 + 2xy\)

Lời giải chi tiết:

Tương tự như bài trước, chúng ta hãy sắp xếp lại các hạng tử để dễ nhận diện hằng đẳng thức:

\(x^2 – 9 + y^2 + 2xy\)

Cô sẽ nhóm các hạng tử có chứa \(x\) và \(y\):

\(= (x^2 + 2xy + y^2) – 9\)

Biểu thức trong ngoặc đơn \((x^2 + 2xy + y^2)\) chính là bình phương của một tổng: \((x+y)^2\).

Vậy, ta có:

\(= (x+y)^2 – 9\)

Số \(9\) có thể viết thành \(3^2\).

Vậy biểu thức trở thành:

\(= (x+y)^2 – 3^2\)

Đây lại là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\).

Với \(A = x+y\) và \(B = 3\).

Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:

\(= (x+y – 3)(x+y + 3)\)

Vậy, kết quả cuối cùng là:

\(x^2 – 9 + y^2 + 2xy = (x+y – 3)(x+y + 3)\)

***

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(x^2 – 4x + 4 – 9y^2\)

Lời giải chi tiết:

Chúng ta hãy nhóm các hạng tử để tạo thành hằng đẳng thức:

\(x^2 – 4x + 4 – 9y^2\)

Cô nhóm ba hạng tử đầu tiên:

\(= (x^2 – 4x + 4) – 9y^2\)

Các em có nhận ra \((x^2 – 4x + 4)\) là hằng đẳng thức nào không? Đúng rồi, đó là bình phương của một hiệu: \((x-2)^2\).

Vậy, ta có:

\(= (x-2)^2 – 9y^2\)

Tiếp theo, \(9y^2\) có thể viết thành \((3y)^2\).

Vậy biểu thức trở thành:

\(= (x-2)^2 – (3y)^2\)

Đây chính là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\).

Với \(A = x-2\) và \(B = 3y\).

Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:

\(= (x-2 – 3y)(x-2 + 3y)\)

Vậy, kết quả cuối cùng là:

\(x^2 – 4x + 4 – 9y^2 = (x-2 – 3y)(x-2 + 3y)\)

***

Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(x^2 – 4xy + 4y^2 – 81\)

Lời giải chi tiết:

Chúng ta hãy nhóm các hạng tử để tạo thành hằng đẳng thức:

\(x^2 – 4xy + 4y^2 – 81\)

Cô nhóm ba hạng tử đầu tiên:

\(= (x^2 – 4xy + 4y^2) – 81\)

Biểu thức trong ngoặc \((x^2 – 4xy + 4y^2)\) chính là bình phương của một hiệu: \((x-2y)^2\).

Vậy, ta có:

\(= (x-2y)^2 – 81\)

Số \(81\) có thể viết thành \(9^2\).

Vậy biểu thức trở thành:

\(= (x-2y)^2 – 9^2\)

Đây lại là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\).

Với \(A = x-2y\) và \(B = 9\).

Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:

\(= (x-2y – 9)(x-2y + 9)\)

Vậy, kết quả cuối cùng là:

\(x^2 – 4xy + 4y^2 – 81 = (x-2y – 9)(x-2y + 9)\)

***

Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(25 – 10x – 9y^2 + x^2\)

Lời giải chi tiết:

Chúng ta hãy sắp xếp lại các hạng tử để dễ nhận diện hằng đẳng thức:

\(25 – 10x – 9y^2 + x^2\)

Cô sẽ đưa \(x^2\) lên đầu và nhóm các hạng tử có chứa \(x\) và số hạng tự do:

\(= x^2 – 10x + 25 – 9y^2\)

Nhóm ba hạng tử đầu tiên:

\(= (x^2 – 10x + 25) – 9y^2\)

Biểu thức trong ngoặc \((x^2 – 10x + 25)\) chính là bình phương của một hiệu: \((x-5)^2\).

Vậy, ta có:

\(= (x-5)^2 – 9y^2\)

Số \(9y^2\) có thể viết thành \((3y)^2\).

Vậy biểu thức trở thành:

\(= (x-5)^2 – (3y)^2\)

Đây chính là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\).

Với \(A = x-5\) và \(B = 3y\).

Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:

\(= (x-5 – 3y)(x-5 + 3y)\)

Vậy, kết quả cuối cùng là:

\(25 – 10x – 9y^2 + x^2 = (x-5 – 3y)(x-5 + 3y)\)

***

Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(9y^2 – 4x^2 + 4x – 1\)

Lời giải chi tiết:

Đây là một dạng bài chúng ta cần phải khéo léo một chút nhé!

\(9y^2 – 4x^2 + 4x – 1\)

Cô thấy có \(9y^2\) và các hạng tử còn lại có vẻ liên quan đến một hằng đẳng thức.

Để ý các hạng tử \(-4x^2 + 4x – 1\). Nếu chúng ta đặt dấu trừ ra ngoài, ta sẽ có:

\(= 9y^2 – (4x^2 – 4x + 1)\)

Biểu thức trong ngoặc \((4x^2 – 4x + 1)\) chính là bình phương của một hiệu: \((2x-1)^2\).

Vậy, ta có:

\(= 9y^2 – (2x-1)^2\)

Số \(9y^2\) có thể viết thành \((3y)^2\).

Vậy biểu thức trở thành:

\(= (3y)^2 – (2x-1)^2\)

Đây chính là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\).

Với \(A = 3y\) và \(B = 2x-1\).

Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:

\(= (3y – (2x-1))(3y + (2x-1))\)

Bây giờ chúng ta cần bỏ dấu ngoặc tròn bên trong nhé, lưu ý đổi dấu khi có dấu trừ phía trước:

\(= (3y – 2x + 1)(3y + 2x – 1)\)

Vậy, kết quả cuối cùng là:

\(9y^2 – 4x^2 + 4x – 1 = (3y – 2x + 1)(3y + 2x – 1)\)

***

Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(x^2 – 2x – 4y^2 + 4y\)

Lời giải chi tiết:

Bài này có vẻ hơi khác một chút, chúng ta cần tinh ý để đưa về dạng hiệu hai bình phương nhé!

\(x^2 – 2x – 4y^2 + 4y\)

Cô sẽ thử nhóm các hạng tử có \(x\) và các hạng tử có \(y\).

Đối với \(x^2 – 2x\), nếu muốn thành hằng đẳng thức \((x-1)^2\), chúng ta cần cộng thêm 1.
Đối với \(-4y^2 + 4y\), nếu chúng ta đặt dấu trừ ra ngoài: \(-(4y^2 – 4y)\). Nếu muốn thành hằng đẳng thức \((2y-1)^2\), chúng ta cần cộng thêm 1 vào trong ngoặc (tức là trừ đi 1 khỏi biểu thức ban đầu).

Vậy, chúng ta sẽ thêm bớt 1 như sau:

\(= (x^2 – 2x + 1) – 1 – (4y^2 – 4y + 1) + 1\)

Các em để ý, \(-1\) và \(+1\) ở giữa sẽ triệt tiêu nhau, không làm thay đổi giá trị của biểu thức ban đầu.

Bây giờ, chúng ta có hai hằng đẳng thức:

\(x^2 – 2x + 1 = (x-1)^2\)

\(4y^2 – 4y + 1 = (2y-1)^2\)

Thay vào biểu thức, ta được:

\(= (x-1)^2 – (2y-1)^2\)

Đây chính là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\).

Với \(A = x-1\) và \(B = 2y-1\).

Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:

\(= ((x-1) – (2y-1))((x-1) + (2y-1))\)

Bây giờ chúng ta cần bỏ dấu ngoặc tròn bên trong và thu gọn:

Ở ngoặc thứ nhất: \((x-1 – 2y + 1) = (x – 2y)\)

Ở ngoặc thứ hai: \((x-1 + 2y – 1) = (x + 2y – 2)\)

Vậy, kết quả cuối cùng là:

\(x^2 – 2x – 4y^2 + 4y = (x – 2y)(x + 2y – 2)\)

***

Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(x^2 – 4x + 4 – 9y^2\)

Lời giải chi tiết:

Các em có nhận ra bài này không? Đây chính là bài số 3 mà chúng ta đã giải ở trên đó!

Chúng ta hãy nhóm các hạng tử để tạo thành hằng đẳng thức:

\(x^2 – 4x + 4 – 9y^2\)

Cô nhóm ba hạng tử đầu tiên:

\(= (x^2 – 4x + 4) – 9y^2\)

Biểu thức trong ngoặc \((x^2 – 4x + 4)\) chính là bình phương của một hiệu: \((x-2)^2\).

Vậy, ta có:

\(= (x-2)^2 – 9y^2\)

Tiếp theo, \(9y^2\) có thể viết thành \((3y)^2\).

Vậy biểu thức trở thành:

\(= (x-2)^2 – (3y)^2\)

Đây chính là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\).

Với \(A = x-2\) và \(B = 3y\).

Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:

\(= (x-2 – 3y)(x-2 + 3y)\)

Vậy, kết quả cuối cùng là:

\(x^2 – 4x + 4 – 9y^2 = (x-2 – 3y)(x-2 + 3y)\)

***

Cô hy vọng qua những lời giải chi tiết này, các em đã nắm vững hơn cách phân tích đa thức thành nhân tử, đặc biệt là dạng sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương. Các em hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo nhé! Chúc các em học tốt!