Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về việc tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức. Dạng bài này sẽ giúp các em rèn luyện tư duy biến đổi đại số và nhìn nhận vấn đề một cách logic.

Đề bài: Cho \(x\), \(y\) là 2 số thực dương, thỏa mãn: \(x\) \(+\) \(y\) \(=\) \(10\)
Tìm giá trị lớn nhất của \(P\) \(=\) \(xy\).

Chúng ta hãy cùng phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

Bài toán cho chúng ta hai thông tin quan trọng:

1. \(x\) và \(y\) là các số thực dương (tức là \(x > 0\) và \(y > 0\)).
2. Tổng của chúng là một hằng số: \(x + y = 10\).

Yêu cầu là tìm giá trị lớn nhất của tích \(P = xy\).

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế một ẩn theo ẩn còn lại, để đưa biểu thức \(P\) về dạng một hàm số chỉ phụ thuộc vào một biến. Từ đó, chúng ta sẽ dùng kỹ thuật biến đổi về dạng bình phương để tìm giá trị lớn nhất.

Từ điều kiện đã cho: \(x + y = 10\)

Chúng ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\) (hoặc ngược lại):

\(y = 10 – x\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thế biểu thức của \(y\) này vào biểu thức của \(P\):

\(P = xy\)

\(P = x(10 – x)\)

Thực hiện phép nhân vào, chúng ta được:

\(P = 10x – x^2\)

Chúng ta có biểu thức \(P = -x^2 + 10x\). Đây là một hàm bậc hai (một parabola quay xuống), nên nó sẽ có một giá trị lớn nhất.

Để tìm giá trị lớn nhất, chúng ta sẽ biến đổi biểu thức này về dạng \(-(A-B)^2 + C\), vì \(-(A-B)^2\) luôn bé hơn hoặc bằng 0.

Hãy cùng làm từng bước nhé:

Đầu tiên, chúng ta đặt dấu trừ ra ngoài:

\(P = -(x^2 – 10x)\)

Bây giờ, chúng ta cần biến đổi \((x^2 – 10x)\) thành dạng bình phương. Chúng ta nhớ hằng đẳng thức đáng nhớ: \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).
Ở đây, \(a^2\) tương ứng với \(x^2\), nên \(a = x\).
\(2ab\) tương ứng với \(10x\), nên \(2 \cdot x \cdot b = 10x \implies 2b = 10 \implies b = 5\).
Vậy chúng ta cần \(b^2 = 5^2 = 25\).

Chúng ta sẽ thêm 25 và bớt 25 vào trong ngoặc để không làm thay đổi giá trị của biểu thức:

\(P = -(x^2 – 10x + 25 – 25)\)

Bây giờ, chúng ta nhóm ba số hạng đầu tiên thành bình phương:

\(P = -((x^2 – 10x + 25) – 25)\)

\(P = -((x – 5)^2 – 25)\)

Cuối cùng, chúng ta bỏ dấu ngoặc vuông bằng cách nhân dấu trừ vào bên trong:

\(P = -(x – 5)^2 – (-25)\)

\(P = -(x – 5)^2 + 25\)

Chúng ta có biểu thức \(P = -(x – 5)^2 + 25\).

Các em hãy nhớ rằng, bình phương của một số thực luôn không âm:

\((x – 5)^2 \ge 0\) với mọi giá trị của \(x\).

Do đó, khi nhân với dấu trừ, nó sẽ luôn không dương:

\(-(x – 5)^2 \le 0\) với mọi giá trị của \(x\).

Vậy, giá trị lớn nhất mà \(-(x – 5)^2\) có thể đạt được là 0. Khi đó:

\(P = 0 + 25 = 25\)

Điều này xảy ra khi \((x – 5)^2 = 0\), tức là:

\(x – 5 = 0\)

\(x = 5\)

Khi \(x = 5\), chúng ta tìm \(y\) bằng cách thay vào công thức \(y = 10 – x\):

\(y = 10 – 5\)

\(y = 5\)

Chúng ta cần kiểm tra xem \(x = 5\) và \(y = 5\) có thỏa mãn điều kiện ban đầu là \(x, y\) là các số thực dương hay không.

Vì \(5 > 0\), nên \(x = 5\) và \(y = 5\) đều là các số dương. Điều kiện này được thỏa mãn.

Vậy, giá trị lớn nhất của \(P = xy\) là 25, và giá trị này đạt được khi \(x = 5\) và \(y = 5\).

Giá trị lớn nhất của \(P\) \(=\) \(xy\) là 25, khi \(x\) \(=\) \(5\) và \(y\) \(=\) \(5\).

Các em thấy không, bằng cách biến đổi linh hoạt và nắm vững các hằng đẳng thức, chúng ta có thể giải quyết được bài toán này một cách dễ dàng. Đây là một phương pháp rất quan trọng để tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các hàm số bậc hai đấy!

Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán nhé!