Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất hay về chia hết. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ cần vận dụng kiến thức về bội, ước và đặc biệt là bội chung nhỏ nhất nhé.

Đề bài: Tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) sao cho
\(n\) \(+\) \(1\) chia hết cho \(2\)
\(n\) \(+\) \(2\) chia hết cho \(3\)
\(n\) \(+\) \(3\) chia hết cho \(4\)
\(n\) \(+\) \(4\) chia hết cho \(5\)

Chúng ta cùng phân tích từng điều kiện một nhé:

1. Phân tích từng điều kiện chia hết:

a) Điều kiện thứ nhất: \(n + 1\) chia hết cho \(2\)
Điều này có nghĩa là \(n + 1\) là một bội của \(2\). Hay nói cách khác, \(n + 1\) là một số chẵn.
Khi đó, \(n\) phải là một số lẻ.

Ta có thể viết \(n + 1 = 2k_1\) (với \(k_1\) là một số tự nhiên).
Từ đó, \(n = 2k_1 – 1\). Nếu chúng ta muốn biểu diễn \(n\) dưới dạng “số dư” khi chia cho \(2\), ta có:
\(n = 2k_1 – 1 = 2(k_1 – 1) + 1\). Vậy \(n\) chia cho \(2\) dư \(1\).

b) Điều kiện thứ hai: \(n + 2\) chia hết cho \(3\)
Điều này có nghĩa là \(n + 2\) là một bội của \(3\).

Ta có thể viết \(n + 2 = 3k_2\) (với \(k_2\) là một số tự nhiên).
Từ đó, \(n = 3k_2 – 2\). Để tìm số dư của \(n\) khi chia cho \(3\), ta biến đổi:
\(n = 3k_2 – 2 = 3k_2 – 3 + 1 = 3(k_2 – 1) + 1\). Vậy \(n\) chia cho \(3\) dư \(1\).

c) Điều kiện thứ ba: \(n + 3\) chia hết cho \(4\)
Điều này có nghĩa là \(n + 3\) là một bội của \(4\).

Ta có thể viết \(n + 3 = 4k_3\) (với \(k_3\) là một số tự nhiên).
Từ đó, \(n = 4k_3 – 3\). Để tìm số dư của \(n\) khi chia cho \(4\), ta biến đổi:
\(n = 4k_3 – 3 = 4k_3 – 4 + 1 = 4(k_3 – 1) + 1\). Vậy \(n\) chia cho \(4\) dư \(1\).

d) Điều kiện thứ tư: \(n + 4\) chia hết cho \(5\)
Điều này có nghĩa là \(n + 4\) là một bội của \(5\).

Ta có thể viết \(n + 4 = 5k_4\) (với \(k_4\) là một số tự nhiên).
Từ đó, \(n = 5k_4 – 4\). Để tìm số dư của \(n\) khi chia cho \(5\), ta biến đổi:
\(n = 5k_4 – 4 = 5k_4 – 5 + 1 = 5(k_4 – 1) + 1\). Vậy \(n\) chia cho \(5\) dư \(1\).

2. Nhận xét chung:

Qua phân tích các điều kiện trên, chúng ta nhận thấy một điều rất đặc biệt:

• \(n\) chia cho \(2\) dư \(1\)
• \(n\) chia cho \(3\) dư \(1\)
• \(n\) chia cho \(4\) dư \(1\)
• \(n\) chia cho \(5\) dư \(1\)

Điều này có nghĩa là khi ta lấy \(n\) trừ đi \(1\) (tức là \(n – 1\)), thì kết quả sẽ chia hết cho cả \(2, 3, 4, 5\).

Nói cách khác, \(n – 1\) là một bội chung của \(2, 3, 4, 5\).

3. Tìm Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các số:

Để tìm các số \(n – 1\) thỏa mãn điều kiện, chúng ta cần tìm BCNN của \(2, 3, 4, 5\).

Các bước tìm BCNN:

a) Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:
\(2 = 2^1\)
\(3 = 3^1\)
\(4 = 2^2\)
\(5 = 5^1\)

b) Chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ lớn nhất:
Thừa số \(2\) có số mũ lớn nhất là \(2^2\).
Thừa số \(3\) có số mũ lớn nhất là \(3^1\).
Thừa số \(5\) có số mũ lớn nhất là \(5^1\).

c) Tính tích các thừa số đã chọn:
\(BCNN(2, 3, 4, 5) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60\).

4. Kết luận về \(n\):

Vì \(n – 1\) là bội chung của \(2, 3, 4, 5\), nên \(n – 1\) phải là bội của BCNN(2, 3, 4, 5), tức là bội của \(60\).

Do đó, chúng ta có thể viết \(n – 1\) dưới dạng:
\(n – 1 = 60k\)
với \(k\) là một số tự nhiên bất kỳ (có thể là \(0, 1, 2, 3, …\)).

Từ đó, ta tìm được \(n\):
\(n = 60k + 1\)

5. Kiểm tra một vài giá trị của \(n\):

• Nếu \(k = 0\), thì \(n = 60 \times 0 + 1 = 1\).

(Kiểm tra: \(1+1=2 \vdots 2\), \(1+2=3 \vdots 3\), \(1+3=4 \vdots 4\), \(1+4=5 \vdots 5\). Đúng!)

• Nếu \(k = 1\), thì \(n = 60 \times 1 + 1 = 61\).

(Kiểm tra: \(61+1=62 \vdots 2\), \(61+2=63 \vdots 3\), \(61+3=64 \vdots 4\), \(61+4=65 \vdots 5\). Đúng!)

• Nếu \(k = 2\), thì \(n = 60 \times 2 + 1 = 121\).

(Kiểm tra: \(121+1=122 \vdots 2\), \(121+2=123 \vdots 3\), \(121+3=124 \vdots 4\), \(121+4=125 \vdots 5\). Đúng!)

Vậy, tất cả các số tự nhiên \(n\) thỏa mãn điều kiện đề bài có dạng \(n = 60k + 1\), trong đó \(k\) là một số tự nhiên bất kỳ (hay \(k \in \{0, 1, 2, 3, …\}\)).

Chúc mừng các em đã hiểu và giải được bài toán này! Đây là một dạng bài toán khá phổ biến trong chương trình Toán 7 về ứng dụng của BCNN. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức nhé!