Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết hai bài toán tìm số tự nhiên có hai chữ số. Đây là dạng bài rất quen thuộc trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta, giúp các em củng cố kiến thức về hệ phương trình và cách biểu diễn số. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài toán 1:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng các chữ số bằng 12 và chữ số hàng chục gấp hai lần chữ số hàng đơn vị.

Phân tích đề bài và Đặt ẩn:

Một số tự nhiên có hai chữ số có dạng \(\overline{ab}\), trong đó:

• \(a\) là chữ số hàng chục.
• \(b\) là chữ số hàng đơn vị.

Điều kiện của các chữ số:

• Chữ số hàng chục \(a\) phải khác 0, tức là \(1 \le a \le 9\).
• Chữ số hàng đơn vị \(b\) có thể bằng 0, tức là \(0 \le b \le 9\).
• \(a\) và \(b\) là các số nguyên.

Giá trị của số \(\overline{ab}\) được biểu diễn là \(10a + b\).

Lập hệ phương trình:

Theo đề bài, chúng ta có hai điều kiện sau:

1. “Tổng các chữ số bằng 12”
   Điều này có nghĩa là chữ số hàng chục cộng với chữ số hàng đơn vị bằng 12.
   Ta có phương trình thứ nhất: \(a + b = 12\) (1)
2. “Chữ số hàng chục gấp hai lần chữ số hàng đơn vị”
   Điều này có nghĩa là chữ số hàng chục bằng hai lần chữ số hàng đơn vị.
   Ta có phương trình thứ hai: \(a = 2b\) (2)

Từ đây, chúng ta có một hệ phương trình gồm hai ẩn \(a\) và \(b\):

\[
\begin{cases}
a + b = 12 \quad (1) \\
a = 2b \quad \quad (2)
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình:

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế để giải hệ này:

1. Thế \(a = 2b\) từ phương trình (2) vào phương trình (1):
   \(2b + b = 12\)
2. Cộng các số hạng chứa \(b\):
   \(3b = 12\)
3. Tìm giá trị của \(b\):
   \(b = \frac{12}{3}\)
   \(b = 4\)
4. Thế giá trị của \(b = 4\) vào phương trình (2) để tìm \(a\):
   \(a = 2 \times 4\)
   \(a = 8\)

Kiểm tra điều kiện:

Chúng ta tìm được \(a = 8\) và \(b = 4\).

• Chữ số hàng chục \(a = 8\), thỏa mãn \(1 \le 8 \le 9\).
• Chữ số hàng đơn vị \(b = 4\), thỏa mãn \(0 \le 4 \le 9\).

Cả hai giá trị đều hợp lệ.

Kết luận:

Số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là \(\overline{ab} = \overline{84}\).

Kiểm tra lại các điều kiện:

• Tổng các chữ số: \(8 + 4 = 12\) (Đúng)
• Chữ số hàng chục gấp hai lần chữ số hàng đơn vị: \(8 = 2 \times 4\) (Đúng)

---

Bài toán 2:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 10 và nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được số mới nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị.

Phân tích đề bài và Đặt ẩn:

Tương tự bài toán 1, gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là \(\overline{ab}\).

• \(a\) là chữ số hàng chục (\(1 \le a \le 9\), \(a\) là số nguyên).
• \(b\) là chữ số hàng đơn vị (\(0 \le b \le 9\), \(b\) là số nguyên).

Giá trị của số ban đầu là \(10a + b\).

Khi viết số đó theo thứ tự ngược lại, ta được số mới là \(\overline{ba}\).

Giá trị của số mới là \(10b + a\).

Lưu ý: Để \(\overline{ba}\) cũng là số có hai chữ số, thì chữ số hàng chục của nó, tức là \(b\), phải khác 0 (\(1 \le b \le 9\)).

Lập hệ phương trình:

Theo đề bài, chúng ta có hai điều kiện sau:

1. “Tổng các chữ số của nó bằng 10”
   Ta có phương trình thứ nhất: \(a + b = 10\) (1)
2. “Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được số mới nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị”
   Điều này có nghĩa là số mới bằng số ban đầu trừ đi 18.
   Ta có phương trình thứ hai: \(10b + a = (10a + b) – 18\) (2)

Bây giờ chúng ta sẽ rút gọn phương trình (2):

\(10b + a = 10a + b – 18\)

Chuyển tất cả các biến về một vế và hằng số về vế còn lại:

\(10b – b + a – 10a = -18\)

\(9b – 9a = -18\)

Chia cả hai vế cho 9:

\(b – a = -2\)

Hoặc viết lại: \(a – b = 2\) (2′)

Chúng ta có hệ phương trình mới:

\[
\begin{cases}
a + b = 10 \quad (1) \\
a – b = 2 \quad \quad (2′)
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình:

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ này:

1. Cộng phương trình (1) với phương trình (2′):
   \((a + b) + (a – b) = 10 + 2\)
   \(2a = 12\)
2. Tìm giá trị của \(a\):
   \(a = \frac{12}{2}\)
   \(a = 6\)
3. Thế giá trị của \(a = 6\) vào phương trình (1) để tìm \(b\):
   \(6 + b = 10\)
   \(b = 10 – 6\)
   \(b = 4\)

Kiểm tra điều kiện:

Chúng ta tìm được \(a = 6\) và \(b = 4\).

• Chữ số hàng chục \(a = 6\), thỏa mãn \(1 \le 6 \le 9\).
• Chữ số hàng đơn vị \(b = 4\), thỏa mãn \(0 \le 4 \le 9\).
• Khi đảo ngược số, chữ số hàng chục mới là \(b=4\), thỏa mãn \(1 \le 4 \le 9\).

Cả hai giá trị đều hợp lệ.

Kết luận:

Số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là \(\overline{ab} = \overline{64}\).

Kiểm tra lại các điều kiện:

• Tổng các chữ số: \(6 + 4 = 10\) (Đúng)
• Số mới khi viết ngược lại là \(46\).
  So sánh với số ban đầu: \(64 – 46 = 18\). (Số mới nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị, đúng)

Hy vọng qua hai bài toán này, các em đã nắm vững cách giải bài toán tìm số tự nhiên có hai chữ số bằng cách lập hệ phương trình. Hãy luyện tập thêm để thành thạo dạng bài này nhé! Chúc các em học tốt!