Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!
Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị về so sánh các số hữu tỉ nhé. Đây là dạng bài rất hay gặp và giúp các em củng cố kiến thức về phân số đó.

Đề bài: Cho \( a, b \) thuộc \( \mathbb{Z} \) và \( b > 0 \). So sánh hai số hữu tỉ \( \frac{a}{b} \) và \( \frac{a+1}{b+1} \).

Chúng ta sẽ giải bài toán này bằng cách quy đồng mẫu số, sau đó so sánh các tử số của chúng nhé!

Bước 1: Quy đồng mẫu số của hai phân số

Hai phân số cần so sánh là \( \frac{a}{b} \) và \( \frac{a+1}{b+1} \).
Mẫu số chung nhỏ nhất của chúng là tích của hai mẫu số: \( b(b+1) \).
Vì \( b \in \mathbb{Z} \) và \( b > 0 \), nên \( b+1 \) cũng sẽ lớn hơn \( 0 \). Do đó, tích \( b(b+1) \) luôn là một số dương.

Ta quy đồng hai phân số như sau:

\( \frac{a}{b} = \frac{a \cdot (b+1)}{b \cdot (b+1)} = \frac{ab + a}{b(b+1)} \)

\( \frac{a+1}{b+1} = \frac{(a+1) \cdot b}{(b+1) \cdot b} = \frac{ab + b}{b(b+1)} \)

Bước 2: So sánh các tử số

Sau khi quy đồng, hai phân số có cùng mẫu số dương \( b(b+1) \). Vì vậy, việc so sánh hai phân số này trở thành việc so sánh các tử số của chúng.
Chúng ta cần so sánh \( ab+a \) và \( ab+b \).

Để so sánh \( ab+a \) và \( ab+b \), ta có thể rút gọn \( ab \) ở cả hai vế (vì \( ab \) là số chung).
Vậy, việc so sánh \( ab+a \) và \( ab+b \) tương đương với việc so sánh \( a \) và \( b \).

Bước 3: Xét các trường hợp có thể xảy ra

Dựa vào việc so sánh \( a \) và \( b \), ta có 3 trường hợp sau đây:

Trường hợp 1: Nếu \( a > b \)

Nếu \( a > b \), thì \( ab+a > ab+b \).
Khi đó, vì mẫu số \( b(b+1) \) là số dương, nên:

\( \frac{ab+a}{b(b+1)} > \frac{ab+b}{b(b+1)} \)

Vậy, trong trường hợp này, \( \frac{a}{b} > \frac{a+1}{b+1} \).

Ví dụ minh họa: Cho \( a=3, b=2 \). Ta có \( a > b \).
\( \frac{a}{b} = \frac{3}{2} \)
\( \frac{a+1}{b+1} = \frac{3+1}{2+1} = \frac{4}{3} \)
Vì \( \frac{3}{2} = 1.5 \) và \( \frac{4}{3} \approx 1.33 \), nên \( \frac{3}{2} > \frac{4}{3} \). Kết quả này khớp với trường hợp \( a > b \).

Trường hợp 2: Nếu \( a = b \)

Nếu \( a = b \), thì \( ab+a = ab+b \).
Khi đó, vì mẫu số \( b(b+1) \) là số dương, nên:

\( \frac{ab+a}{b(b+1)} = \frac{ab+b}{b(b+1)} \)

Vậy, trong trường hợp này, \( \frac{a}{b} = \frac{a+1}{b+1} \).

Ví dụ minh họa: Cho \( a=2, b=2 \). Ta có \( a = b \).
\( \frac{a}{b} = \frac{2}{2} = 1 \)
\( \frac{a+1}{b+1} = \frac{2+1}{2+1} = \frac{3}{3} = 1 \)
Rõ ràng \( 1 = 1 \). Kết quả này khớp với trường hợp \( a = b \).

Trường hợp 3: Nếu \( a < b \)

Nếu \( a < b \), thì \( ab+a < ab+b \).
Khi đó, vì mẫu số \( b(b+1) \) là số dương, nên:

\( \frac{ab+a}{b(b+1)} < \frac{ab+b}{b(b+1)} \)

Vậy, trong trường hợp này, \( \frac{a}{b} < \frac{a+1}{b+1} \).

Ví dụ minh họa: Cho \( a=2, b=3 \). Ta có \( a < b \).
\( \frac{a}{b} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{a+1}{b+1} = \frac{2+1}{3+1} = \frac{3}{4} \)
Để so sánh \( \frac{2}{3} \) và \( \frac{3}{4} \), ta quy đồng mẫu số: \( \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} \) và \( \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} \).
Vì \( \frac{8}{12} < \frac{9}{12} \), nên \( \frac{2}{3} < \frac{3}{4} \). Kết quả này khớp với trường hợp \( a < b \).

Kết luận:

Dựa trên phân tích các trường hợp trên, ta có thể kết luận như sau:

• Nếu \( a > b \) thì \( \frac{a}{b} > \frac{a+1}{b+1} \)
• Nếu \( a = b \) thì \( \frac{a}{b} = \frac{a+1}{b+1} \)
• Nếu \( a < b \) thì \( \frac{a}{b} < \frac{a+1}{b+1} \)

Chúc các em hiểu bài và học tập thật tốt nhé!