Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán về so sánh các số hữu tỉ. Đây là một bài toán khá thú vị, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các phân số. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Đề bài:

Cho \(x = a/m\), \(y = b/m\), biết \(a, b, m \in \mathbb{Z}\), \(m > 0\) và \(x < y\).

Hãy chứng tỏ rằng: \(x < (a + b) / (2m) < y\).

—

Lời giải chi tiết:

Trước hết, chúng ta hãy phân tích đề bài:

• Chúng ta có hai số hữu tỉ \(x\) và \(y\) có cùng mẫu số là \(m\).
• \(a, b, m\) là các số nguyên, và đặc biệt \(m\) là số nguyên dương (\(m > 0\)).
• Điều kiện quan trọng nhất là \(x < y\).
• Chúng ta cần chứng minh rằng số hữu tỉ \((a + b) / (2m)\) nằm giữa \(x\) và \(y\).

Để chứng minh rằng \(x < (a + b) / (2m) < y\), chúng ta sẽ chia thành hai phần:

1. Chứng minh \(x < (a + b) / (2m)\)
2. Chứng minh \((a + b) / (2m) < y\)

Bước 1: Khai thác giả thiết \(x < y\)

Vì \(x = a/m\) và \(y = b/m\), nên điều kiện \(x < y\) có nghĩa là:

\(a/m < b/m\)

Do \(m > 0\) (mẫu số dương), khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với \(m\), chiều của bất đẳng thức không thay đổi. Do đó:

\(a/m \cdot m < b/m \cdot m\)

\(a < b\)

Đây là một kết quả rất quan trọng mà chúng ta sẽ sử dụng trong các bước chứng minh tiếp theo. Hãy ghi nhớ điều này: \(a < b\).

Bước 2: Chứng minh \(x < (a + b) / (2m)\)

Chúng ta cần chứng minh \(a/m < (a + b) / (2m)\).

Từ kết quả ở Bước 1, ta có: \(a < b\).

Bây giờ, chúng ta sẽ cộng thêm \(a\) vào cả hai vế của bất đẳng thức này:

\(a + a < b + a\)

\(2a < a + b\)

Tiếp theo, chúng ta chia cả hai vế của bất đẳng thức cho \(2m\).

Vì \(m > 0\), nên \(2m\) cũng là một số dương (\(2m > 0\)). Khi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho một số dương, chiều của bất đẳng thức không thay đổi.

Do đó:

\(2a / (2m) < (a + b) / (2m)\)

Rút gọn vế trái, ta được:

\(a/m < (a + b) / (2m)\)

Vì \(a/m = x\), nên ta có:

\(x < (a + b) / (2m)\)

Vậy, chúng ta đã chứng minh được phần thứ nhất.

Bước 3: Chứng minh \((a + b) / (2m) < y\)

Chúng ta cần chứng minh \((a + b) / (2m) < b/m\).

Tương tự như trên, chúng ta lại xuất phát từ kết quả ở Bước 1: \(a < b\).

Bây giờ, chúng ta sẽ cộng thêm \(b\) vào cả hai vế của bất đẳng thức này:

\(a + b < b + b\)

\(a + b < 2b\)

Tiếp theo, chúng ta chia cả hai vế của bất đẳng thức cho \(2m\).

Vì \(2m > 0\), khi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho một số dương, chiều của bất đẳng thức không thay đổi.

Do đó:

\((a + b) / (2m) < 2b / (2m)\)

Rút gọn vế phải, ta được:

\((a + b) / (2m) < b/m\)

Vì \(b/m = y\), nên ta có:

\((a + b) / (2m) < y\)

Vậy, chúng ta đã chứng minh được phần thứ hai.

Kết luận chung:

Từ Bước 2, chúng ta có \(x < (a + b) / (2m)\).

Từ Bước 3, chúng ta có \((a + b) / (2m) < y\).

Kết hợp cả hai bất đẳng thức này lại, ta được:

\(x < (a + b) / (2m) < y\)

Điều này chính là điều mà đề bài yêu cầu chúng ta chứng tỏ.

—

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh. Bài toán này cho thấy, khi có hai số hữu tỉ cùng mẫu số, thì một số hữu tỉ mới được tạo ra bằng cách lấy tổng các tử số và chia cho hai lần mẫu số sẽ luôn nằm giữa hai số hữu tỉ ban đầu. Các em có thể thấy nó giống như việc tìm “giá trị trung bình” của tử số, sau đó tạo ra một phân số mới.

Chúc các em học tốt!