Chúng ta cùng bắt đầu với Bài 1.

Bài 1: Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc và thời gian đã định. Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ; nếu giảm vận tốc 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định 1 giờ 30 phút. Tính vận tốc dự định, thời gian dự định và độ dài quãng đường AB.

Lời giải chi tiết:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ gọi các đại lượng cần tìm là các ẩn số và lập hệ phương trình.

Bước 1: Gọi các ẩn và đặt điều kiện.

Gọi vận tốc dự định của ô tô là \(v\) (km/h). Điều kiện: \(v > 10\) (vì còn trường hợp giảm vận tốc 10 km/h).

Gọi thời gian dự định của ô tô là \(t\) (giờ). Điều kiện: \(t > 1\) (vì còn trường hợp đến sớm hơn 1 giờ).

Khi đó, quãng đường AB là \(S = v \cdot t\) (km).

Bước 2: Lập các phương trình dựa vào dữ kiện bài toán.

Trường hợp 1: Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h.

Vận tốc mới là: \(v + 10\) (km/h).

Thời gian đến B là: \(t – 1\) (giờ) (vì đến sớm hơn dự định 1 giờ).

Quãng đường AB không đổi, nên ta có phương trình:

\(S = (v + 10)(t – 1)\)

Thay \(S = vt\) vào, ta được:

\(vt = (v + 10)(t – 1)\)

\(vt = vt – v + 10t – 10\)

\(0 = -v + 10t – 10\)

\(v = 10t – 10\) (Phương trình 1)

Trường hợp 2: Nếu ô tô giảm vận tốc 10 km/h.

Vận tốc mới là: \(v – 10\) (km/h).

Thời gian đến B là: \(t + 1 \text{ giờ } 30 \text{ phút} = t + 1.5\) (giờ) (vì đến muộn hơn dự định 1 giờ 30 phút).

Quãng đường AB không đổi, nên ta có phương trình:

\(S = (v – 10)(t + 1.5)\)

Thay \(S = vt\) vào, ta được:

\(vt = (v – 10)(t + 1.5)\)

\(vt = vt + 1.5v – 10t – 15\)

\(0 = 1.5v – 10t – 15\) (Phương trình 2)

Bước 3: Giải hệ phương trình.

Ta có hệ phương trình gồm Phương trình 1 và Phương trình 2:

\(\left\{ \begin{array}{l} v = 10t – 10 \quad (1) \\ 1.5v – 10t – 15 = 0 \quad (2) \end{array} \right.\)

Thay (1) vào (2), ta được:

\(1.5(10t – 10) – 10t – 15 = 0\)

\(15t – 15 – 10t – 15 = 0\)

\(5t – 30 = 0\)

\(5t = 30\)

\(t = \frac{30}{5}\)

\(t = 6\) (giờ)

Với \(t = 6\), thay vào Phương trình 1 để tìm \(v\):

\(v = 10(6) – 10\)

\(v = 60 – 10\)

\(v = 50\) (km/h)

Kiểm tra điều kiện: \(v=50 > 10\) và \(t=6 > 1\), thỏa mãn.

Tính quãng đường AB:

\(S = v \cdot t = 50 \cdot 6 = 300\) (km)

Bước 4: Kết luận.

Vậy, vận tốc dự định của ô tô là 50 km/h, thời gian dự định là 6 giờ và độ dài quãng đường AB là 300 km.

————————————————–

Tiếp theo, chúng ta cùng giải Bài 2.

Bài 2: Một xe máy dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu tăng vận tốc thêm 5 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ; nếu giảm vận tốc 5 km/h thì đến B muộn hơn dự định 1 giờ 30 phút. Tính vận tốc và thời gian dự định của xe máy.

Lời giải chi tiết:

Bài toán này tương tự như Bài 1, chúng ta cũng sẽ gọi các ẩn và lập hệ phương trình.

Bước 1: Gọi các ẩn và đặt điều kiện.

Gọi vận tốc dự định của xe máy là \(v\) (km/h). Điều kiện: \(v > 5\) (vì còn trường hợp giảm vận tốc 5 km/h).

Gọi thời gian dự định của xe máy là \(t\) (giờ). Điều kiện: \(t > 1\) (vì còn trường hợp đến sớm hơn 1 giờ).

Quãng đường AB là \(S = v \cdot t\) (km).

Bước 2: Lập các phương trình dựa vào dữ kiện bài toán.

Trường hợp 1: Nếu xe máy tăng vận tốc thêm 5 km/h.

Vận tốc mới là: \(v + 5\) (km/h).

Thời gian đến B là: \(t – 1\) (giờ) (vì đến sớm hơn dự định 1 giờ).

Quãng đường AB không đổi, nên ta có phương trình:

\(S = (v + 5)(t – 1)\)

Thay \(S = vt\) vào, ta được:

\(vt = (v + 5)(t – 1)\)

\(vt = vt – v + 5t – 5\)

\(0 = -v + 5t – 5\)

\(v = 5t – 5\) (Phương trình 1′)

Trường hợp 2: Nếu xe máy giảm vận tốc 5 km/h.

Vận tốc mới là: \(v – 5\) (km/h).

Thời gian đến B là: \(t + 1 \text{ giờ } 30 \text{ phút} = t + 1.5\) (giờ) (vì đến muộn hơn dự định 1 giờ 30 phút).

Quãng đường AB không đổi, nên ta có phương trình:

\(S = (v – 5)(t + 1.5)\)

Thay \(S = vt\) vào, ta được:

\(vt = vt + 1.5v – 5t – 7.5\)

\(0 = 1.5v – 5t – 7.5\) (Phương trình 2′)

Bước 3: Giải hệ phương trình.

Ta có hệ phương trình gồm Phương trình 1′ và Phương trình 2′:

\(\left\{ \begin{array}{l} v = 5t – 5 \quad (1′) \\ 1.5v – 5t – 7.5 = 0 \quad (2′) \end{array} \right.\)

Thay (1′) vào (2′), ta được:

\(1.5(5t – 5) – 5t – 7.5 = 0\)

\(7.5t – 7.5 – 5t – 7.5 = 0\)

\(2.5t – 15 = 0\)

\(2.5t = 15\)

\(t = \frac{15}{2.5}\)

\(t = 6\) (giờ)

Với \(t = 6\), thay vào Phương trình 1′ để tìm \(v\):

\(v = 5(6) – 5\)

\(v = 30 – 5\)

\(v = 25\) (km/h)

Kiểm tra điều kiện: \(v=25 > 5\) và \(t=6 > 1\), thỏa mãn.

Bước 4: Kết luận.

Vậy, vận tốc dự định của xe máy là 25 km/h và thời gian dự định là 6 giờ.

Qua hai bài toán này, các em thấy rằng việc phân tích kỹ đề bài, đặt ẩn số phù hợp và lập các phương trình một cách chính xác là chìa khóa để giải quyết bài toán hiệu quả. Chúc các em học tốt!