Xin chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán khá thú vị về căn bậc hai và căn bậc ba. Cô sẽ hướng dẫn chi tiết từng bước để các em hiểu rõ bản chất nhé. Bài toán này có dạng trắc nghiệm đúng sai, yêu cầu chúng ta vừa tìm ra đáp án, vừa giải thích vì sao lại chọn đáp án đó.

Trước tiên, chúng ta cùng phân tích đề bài:
Cho hai biểu thức:
\( t = \frac{\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{6+2\sqrt{5}} – \sqrt{5}} \)
và \( P = (t^3 – 4t + 1)^{100} \)

Chúng ta cần xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và giải thích:
a) \( \sqrt{6+2\sqrt{5}} – \sqrt{5} = 1 \)
b) \( 10+6\sqrt{3} = (\sqrt{3}+1)^3 \)
c) \( t = (\sqrt{3}+1)^2 \)
d) \( P = 1 \)

—

Phân tích từng phần của đề bài:

Để giải bài toán này, chúng ta cần tính toán và rút gọn các biểu thức con trước, sau đó mới thay vào để tính giá trị của t và P.

—

Xét mệnh đề a) \( \sqrt{6+2\sqrt{5}} – \sqrt{5} = 1 \)

Chúng ta cần tính giá trị của \( \sqrt{6+2\sqrt{5}} \).
Nhớ lại công thức khai phương một biểu thức dạng \( \sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} \). Ta cần tìm hai số m, n sao cho \( m+n = 6 \) và \( m \times n = 5 \).
Dễ dàng nhận thấy \( m=5 \) và \( n=1 \) thỏa mãn điều kiện này.
Do đó, \( \sqrt{6+2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{1})^2} = \sqrt{5}+1 \).

Bây giờ, thay vào biểu thức ở mệnh đề a):
\( \sqrt{6+2\sqrt{5}} – \sqrt{5} = (\sqrt{5}+1) – \sqrt{5} = 1 \)

Kết luận cho mệnh đề a): Đúng.
Lý do chọn: Chúng ta đã thực hiện phép khai phương thành công và thu được kết quả bằng 1.

—

Xét mệnh đề b) \( 10+6\sqrt{3} = (\sqrt{3}+1)^3 \)

Chúng ta sẽ khai triển vế phải của mệnh đề này: \( (\sqrt{3}+1)^3 \).
Sử dụng công thức khai triển lập phương \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \).
Ở đây, \( a = \sqrt{3} \) và \( b = 1 \).
\( (\sqrt{3}+1)^3 = (\sqrt{3})^3 + 3(\sqrt{3})^2(1) + 3(\sqrt{3})(1)^2 + 1^3 \)
\( = 3\sqrt{3} + 3(3)(1) + 3\sqrt{3}(1) + 1 \)
\( = 3\sqrt{3} + 9 + 3\sqrt{3} + 1 \)
\( = (9+1) + (3\sqrt{3}+3\sqrt{3}) \)
\( = 10 + 6\sqrt{3} \)

Vế trái của mệnh đề b) là \( 10+6\sqrt{3} \).
Vế phải sau khi khai triển là \( 10+6\sqrt{3} \).
Hai vế bằng nhau.

Kết luận cho mệnh đề b): Đúng.
Lý do chọn: Chúng ta đã khai triển thành công biểu thức lập phương và thu được kết quả bằng với vế trái.

—

Xét mệnh đề c) \( t = (\sqrt{3}+1)^2 \)

Bây giờ, chúng ta cần tính giá trị của t.
\( t = \frac{\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{6+2\sqrt{5}} – \sqrt{5}} \)

Từ mệnh đề b), chúng ta biết \( 10+6\sqrt{3} = (\sqrt{3}+1)^3 \).
Do đó, \( \sqrt[3]{10+6\sqrt{3}} = \sqrt[3]{(\sqrt{3}+1)^3} = \sqrt{3}+1 \).

Từ mệnh đề a), chúng ta biết \( \sqrt{6+2\sqrt{5}} – \sqrt{5} = 1 \).

Thay các giá trị đã tính được vào biểu thức của t:
\( t = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{1} \)
\( t = (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) \)

Đây là dạng hằng đẳng thức \( (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 \), với \( a=\sqrt{3} \) và \( b=1 \).
\( t = (\sqrt{3})^2 – 1^2 \)
\( t = 3 – 1 \)
\( t = 2 \)

Bây giờ, chúng ta so sánh giá trị tính được của t với vế phải của mệnh đề c).
Vế phải của mệnh đề c) là \( (\sqrt{3}+1)^2 \).
\( (\sqrt{3}+1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(1) + 1^2 \)
\( = 3 + 2\sqrt{3} + 1 \)
\( = 4 + 2\sqrt{3} \)

So sánh \( t=2 \) với \( (\sqrt{3}+1)^2 = 4+2\sqrt{3} \).
Ta thấy \( 2 \neq 4+2\sqrt{3} \).

Kết luận cho mệnh đề c): Sai.
Lý do chọn: Chúng ta đã tính toán chi tiết giá trị của t và so sánh với giá trị của \( (\sqrt{3}+1)^2 \), thấy chúng không bằng nhau.

—

Xét mệnh đề d) \( P = 1 \)

Chúng ta có \( P = (t^3 – 4t + 1)^{100} \).
Từ mệnh đề c), chúng ta đã tính được \( t = 2 \).
Bây giờ, chúng ta thay giá trị \( t=2 \) vào biểu thức trong ngoặc của P:
\( t^3 – 4t + 1 = (2)^3 – 4(2) + 1 \)
\( = 8 – 8 + 1 \)
\( = 1 \)

Vậy, biểu thức trong ngoặc của P có giá trị là 1.
Thay giá trị này vào biểu thức của P:
\( P = (1)^{100} \)
\( P = 1 \)

Kết luận cho mệnh đề d): Đúng.
Lý do chọn: Chúng ta đã tính được giá trị của t là 2, sau đó thay vào biểu thức \( t^3 – 4t + 1 \) và thu được kết quả là 1. Khi lũy thừa 1 với số mũ 100 thì kết quả vẫn là 1.

—

Tổng kết lại các kết quả:
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng

Các em thấy đó, mỗi bước giải đều dựa trên các phép biến đổi đại số và hằng đẳng thức quen thuộc. Việc phân tích và tính toán cẩn thận từng phần là chìa khóa để giải bài toán này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em đừng ngần ngại hỏi nhé!