Đề bài: Tìm số nguyên tố \(p\) sao cho các số \(p + 2\), \(p + 6\), \(p + 8\) cũng là các số nguyên tố.

Trước hết, chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa về số nguyên tố: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt xét các trường hợp của số nguyên tố \(p\) từ nhỏ đến lớn nhé:

Trường hợp 1: Nếu \(p = 2\).

Chúng ta thay \(p = 2\) vào các biểu thức đã cho:

• \(p\) là \(2\) (là số nguyên tố).
• \(p + 2 = 2 + 2 = 4\). Số \(4\) không phải là số nguyên tố (vì \(4\) chia hết cho \(2\)).

Vì \(p+2\) không phải là số nguyên tố, nên \(p = 2\) không thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Trường hợp 2: Nếu \(p = 3\).

Chúng ta thay \(p = 3\) vào các biểu thức đã cho:

• \(p\) là \(3\) (là số nguyên tố).
• \(p + 2 = 3 + 2 = 5\). Số \(5\) là số nguyên tố.
• \(p + 6 = 3 + 6 = 9\). Số \(9\) không phải là số nguyên tố (vì \(9\) chia hết cho \(3\)).

Vì \(p+6\) không phải là số nguyên tố, nên \(p = 3\) không thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Trường hợp 3: Nếu \(p = 5\).

Chúng ta thay \(p = 5\) vào các biểu thức đã cho:

• \(p\) là \(5\) (là số nguyên tố).
• \(p + 2 = 5 + 2 = 7\). Số \(7\) là số nguyên tố.
• \(p + 6 = 5 + 6 = 11\). Số \(11\) là số nguyên tố.
• \(p + 8 = 5 + 8 = 13\). Số \(13\) là số nguyên tố.

Vậy, khi \(p = 5\), tất cả các số \(p\), \(p+2\), \(p+6\), \(p+8\) đều là số nguyên tố (\(5, 7, 11, 13\)).
Do đó, \(p = 5\) là một giá trị thỏa mãn đề bài.

Trường hợp 4: Nếu \(p > 5\).

Khi \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(5\), thì \(p\) không chia hết cho \(3\) và không chia hết cho \(5\).

a) Xét tính chia hết cho \(3\):

Một số nguyên tố \(p > 3\) khi chia cho \(3\) có thể có số dư là \(1\) hoặc \(2\). Tức là \(p\) có dạng \(3k + 1\) hoặc \(3k + 2\) (với \(k\) là số tự nhiên).

• Nếu \(p = 3k + 1\):
  Khi đó \(p + 2 = (3k + 1) + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1)\).
  Vì \(p > 5\), nên \(p\) phải lớn hơn \(3\). Do đó \(k\) phải là số nguyên dương (\(k \ge 1\)).
  Nếu \(k \ge 1\), thì \(k+1 \ge 2\). Vậy \(3(k+1)\) là một số chia hết cho \(3\) và lớn hơn \(3\).
  Do đó, \(p+2\) là hợp số (không phải số nguyên tố).
  Trường hợp này không thỏa mãn.
• Vậy, \(p\) phải có dạng \(3k + 2\).
  Nếu \(p = 3k + 2\), thì:
  • \(p+2 = 3k+2+2 = 3k+4\) (không chia hết cho 3)
  • \(p+6 = 3k+2+6 = 3k+8\) (không chia hết cho 3)
  • \(p+8 = 3k+2+8 = 3k+10\) (không chia hết cho 3)

  Đây là trường hợp có thể xảy ra, nên chúng ta cần xét thêm tính chia hết cho \(5\).

b) Xét tính chia hết cho \(5\) (khi \(p > 5\)):

Một số nguyên tố \(p > 5\) khi chia cho \(5\) có thể có số dư là \(1, 2, 3\) hoặc \(4\). Tức là \(p\) có dạng \(5k + 1\), \(5k + 2\), \(5k + 3\) hoặc \(5k + 4\) (với \(k\) là số tự nhiên).

• Nếu \(p = 5k + 2\):
  Khi đó \(p + 8 = (5k + 2) + 8 = 5k + 10 = 5(k + 2)\).
  Vì \(p > 5\), \(k\) phải là số nguyên dương (\(k \ge 1\)). Khi đó \(k+2 \ge 3\).
  Vậy \(5(k+2)\) là một số chia hết cho \(5\) và lớn hơn \(5\). Do đó, \(p+8\) là hợp số.
  Trường hợp này không thỏa mãn.
• Nếu \(p = 5k + 3\):
  Khi đó \(p + 2 = (5k + 3) + 2 = 5k + 5 = 5(k + 1)\).
  Vì \(p > 5\), \(k\) phải là số nguyên dương (\(k \ge 1\)). Khi đó \(k+1 \ge 2\).
  Vậy \(5(k+1)\) là một số chia hết cho \(5\) và lớn hơn \(5\). Do đó, \(p+2\) là hợp số.
  Trường hợp này không thỏa mãn.
• Nếu \(p = 5k + 4\):
  Khi đó \(p + 6 = (5k + 4) + 6 = 5k + 10 = 5(k + 2)\).
  Vì \(p > 5\), \(k\) phải là số nguyên dương (\(k \ge 1\)). Khi đó \(k+2 \ge 3\).
  Vậy \(5(k+2)\) là một số chia hết cho \(5\) và lớn hơn \(5\). Do đó, \(p+6\) là hợp số.
  Trường hợp này không thỏa mãn.
• Vậy, chỉ còn trường hợp \(p\) có dạng \(5k + 1\).

Từ hai phần xét trên (chia hết cho 3 và chia hết cho 5), để \(p\) thỏa mãn điều kiện đề bài khi \(p > 5\), thì \(p\) phải đồng thời có dạng \(3k + 2\) và \(5m + 1\). (Chúng ta dùng \(k\) và \(m\) khác nhau để tránh nhầm lẫn).

Chúng ta hãy thử các số nguyên tố lớn hơn 5 có dạng \(5m+1\) và kiểm tra xem nó có dạng \(3k+2\) không:

• Số nguyên tố tiếp theo có dạng \(5m+1\) là \(p = 11\). (\(11 = 5 \times 2 + 1\))
  Kiểm tra xem \(11\) có dạng \(3k+2\) không: \(11 = 3 \times 3 + 2\). Đúng vậy!
  Bây giờ, chúng ta thay \(p = 11\) vào các biểu thức:
  • \(p = 11\) (là số nguyên tố).
  • \(p + 2 = 11 + 2 = 13\) (là số nguyên tố).
  • \(p + 6 = 11 + 6 = 17\) (là số nguyên tố).
  • \(p + 8 = 11 + 8 = 19\) (là số nguyên tố).

  Vậy, \(p = 11\) cũng là một giá trị thỏa mãn đề bài.

• Số nguyên tố tiếp theo có dạng \(5m+1\) là \(p = 31\). (\(31 = 5 \times 6 + 1\))
  Kiểm tra xem \(31\) có dạng \(3k+2\) không: \(31 = 3 \times 10 + 1\). Không phải! (Nó có dạng \(3k+1\), mà trường hợp này chúng ta đã loại vì \(p+2\) là hợp số).
• Số nguyên tố tiếp theo có dạng \(5m+1\) là \(p = 41\). (\(41 = 5 \times 8 + 1\))
  Kiểm tra xem \(41\) có dạng \(3k+2\) không: \(41 = 3 \times 13 + 2\). Đúng vậy!
  Bây giờ, chúng ta thay \(p = 41\) vào các biểu thức:
  • \(p = 41\) (là số nguyên tố).
  • \(p + 2 = 41 + 2 = 43\) (là số nguyên tố).
  • \(p + 6 = 41 + 6 = 47\) (là số nguyên tố).
  • \(p + 8 = 41 + 8 = 49\). Số \(49\) không phải là số nguyên tố (vì \(49 = 7 \times 7\)).

  Vậy, \(p = 41\) không thỏa mãn đề bài.

Nếu tiếp tục kiểm tra các số nguyên tố lớn hơn, chúng ta sẽ thấy không có thêm giá trị \(p\) nào thỏa mãn nữa. Việc chứng minh điều này một cách tổng quát hơn thì cần kiến thức cao hơn một chút, nhưng với lớp 6, chúng ta chỉ cần tìm ra các giá trị thỏa mãn và chứng minh rằng các trường hợp khác không phù hợp là đủ rồi.

Kết luận:

Dựa vào các trường hợp đã xét, chúng ta tìm được hai số nguyên tố \(p\) thỏa mãn đề bài là \(p = 5\) và \(p = 11\).

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này nhé! Đây là một bài tập rất hay để rèn luyện tư duy logic và khả năng phân tích các trường hợp đấy!