Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán bất đẳng thức khá thú vị. Bài toán này yêu cầu chúng ta chứng minh một đẳng thức liên quan đến tổng của các phân số.

Bài toán: Cho \(a,b,c,d \in \mathbb{R^+}\), thỏa mãn \(a+b+c+d=4\). Chứng minh rằng:

\[ \dfrac{1}{a^2+1} + \dfrac{1}{b^2+1} + \dfrac{1}{c^2+1} + \dfrac{1}{d^2+1} \geqslant 2 \]

Hướng đi và cách giải:

Trước hết, chúng ta hãy nhìn vào bất đẳng thức cần chứng minh. Chúng ta có tổng của bốn phân số, và điều kiện cho là tổng của các biến bằng 4. Mẫu số của các phân số đều có dạng \(x^2+1\). Đây là một dạng khá quen thuộc.

Ý tưởng 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc Jensen.

Bất đẳng thức Jensen thường được áp dụng cho các hàm lồi hoặc lõm. Xét hàm \(f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}\). Đạo hàm bậc hai của \(f(x)\) là \(f”(x) = \dfrac{2(3x^2-1)}{(x^2+1)^3}\). Hàm này không phải lúc nào cũng lồi hoặc lõm trên toàn miền xác định, nên việc áp dụng Jensen trực tiếp có thể gặp khó khăn.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel có dạng: \( \sum_{i=1}^n \dfrac{x_i^2}{y_i} \ge \dfrac{(\sum_{i=1}^n x_i)^2}{\sum_{i=1}^n y_i} \). Tuy nhiên, các phân số trong bài toán của chúng ta có dạng \( \dfrac{1}{a^2+1} \), không có dạng \( \dfrac{x_i^2}{y_i} \) trực tiếp.

Ý tưởng 2: Tìm cách “biến đổi” các phân số để áp dụng một bất đẳng thức quen thuộc khác.

Chúng ta có thể thử “tách” hoặc “ghép” các phân số với một số hạng khác. Quan sát điều kiện \(a+b+c+d=4\), có vẻ như dấu “=” xảy ra khi \(a=b=c=d=1\). Khi đó, mỗi phân số có giá trị là \( \dfrac{1}{1^2+1} = \dfrac{1}{2} \). Tổng cộng là \(4 \times \dfrac{1}{2} = 2\). Điều này gợi ý rằng dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra tại \(a=b=c=d=1\).

Hãy thử xét một bất đẳng thức quen thuộc liên quan đến \( \dfrac{1}{x^2+1} \) và một số hạng tuyến tính.

Bất đẳng thức phụ quan trọng:

Chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau đây:

\[ \dfrac{1}{x^2+1} \geqslant 1 – \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}x^2 \]

Hoặc một cách biến đổi tương đương hơn là:

\[ \dfrac{1}{x^2+1} \geqslant \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{4}(x-1)^2 \]

Khi nào dùng bất đẳng thức này? Bất đẳng thức này hữu ích khi ta có một biểu thức dạng \( \dfrac{1}{x^2+1} \) và muốn đánh giá nó từ dưới lên, đặc biệt khi ta biết rằng dấu “=” xảy ra khi \(x=1\).

Chứng minh bất đẳng thức phụ:

Xét hiệu:

\[ \dfrac{1}{x^2+1} – \left( \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{4}(x-1)^2 \right) \]
\[ = \dfrac{1}{x^2+1} – \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}(x^2 – 2x + 1) \]
\[ = \dfrac{2 – (x^2+1)}{2(x^2+1)} + \dfrac{x^2 – 2x + 1}{4} \]
\[ = \dfrac{1 – x^2}{2(x^2+1)} + \dfrac{x^2 – 2x + 1}{4} \]
\[ = \dfrac{2(1 – x^2) + (x^2+1)(x^2 – 2x + 1)}{4(x^2+1)} \]

Ta có \( (x^2+1)(x^2 – 2x + 1) = x^4 – 2x^3 + x^2 + x^2 – 2x + 1 = x^4 – 2x^3 + 2x^2 – 2x + 1 \).

Do đó, tử số là:

\[ 2 – 2x^2 + x^4 – 2x^3 + 2x^2 – 2x + 1 = x^4 – 2x^3 – 2x + 3 \]

Hmmm, phép biến đổi này có vẻ không đơn giản. Hãy thử một cách khác để chứng minh bất đẳng thức phụ.

Cách chứng minh bất đẳng thức phụ khác:

Ta cần chứng minh \( \dfrac{1}{x^2+1} \ge 1 – \dfrac{1}{2}x \). Điều này không đúng với mọi \(x\).

Hãy quay lại ý tưởng ban đầu: dấu “=” xảy ra khi \(a=b=c=d=1\). Ta cần một bất đẳng thức mà ở \(x=1\) thì vế trái bằng vế phải.

Thử với:

\[ \dfrac{1}{x^2+1} \ge A – Bx \]

Khi \(x=1\), \( \dfrac{1}{2} = A – B \).

Xét hàm \(f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}\) và đường thẳng \(y = \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{4}(x-1)\). Tại \(x=1\), \(y = \dfrac{1}{2}\).

Thử lại bất đẳng thức phụ:

\[ \dfrac{1}{x^2+1} \ge \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{4}(x-1) \]

\[ \dfrac{1}{x^2+1} \ge \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{4} \]

\[ \dfrac{1}{x^2+1} \ge \dfrac{3}{4} – \dfrac{1}{4}x \]

\[ 4 \ge (3-x)(x^2+1) \]

\[ 4 \ge 3x^2 + 3 – x^3 – x \]

\[ x^3 – 3x^2 + x + 1 \ge 0 \]

Đặt \(P(x) = x^3 – 3x^2 + x + 1\). Ta thấy \(P(1) = 1 – 3 + 1 + 1 = 0\). Vậy \((x-1)\) là một nhân tử.

Ta có \(P(x) = (x-1)(x^2 – 2x – 1)\).

Bất đẳng thức \(x^3 – 3x^2 + x + 1 \ge 0\) tương đương với \( (x-1)(x^2 – 2x – 1) \ge 0 \).

Vì \(a,b,c,d \in \mathbb{R^+}\), \(x>0\). Tuy nhiên, \(x^2 – 2x – 1\) có thể âm khi \(x\) gần 0.

Xem lại đề bài và hướng đi ban đầu.

Có lẽ bất đẳng thức phụ ban đầu có dạng khác.

Bất đẳng thức phụ “chuẩn” cho bài toán này:

Ta sẽ chứng minh:

\[ \dfrac{1}{x^2+1} \ge \dfrac{3}{2} – \dfrac{1}{2}x \]

Khi nào dùng bất đẳng thức này? Tương tự, nó hữu ích khi ta muốn đánh giá \( \dfrac{1}{x^2+1} \) từ dưới lên và biết dấu “=” xảy ra tại \(x=1\).

Chứng minh bất đẳng thức phụ:

Xét hiệu:

\[ \dfrac{1}{x^2+1} – \left( \dfrac{3}{2} – \dfrac{1}{2}x \right) \]
\[ = \dfrac{1}{x^2+1} – \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}x \]
\[ = \dfrac{2 – 3(x^2+1) + x(x^2+1)}{2(x^2+1)} \]
\[ = \dfrac{2 – 3x^2 – 3 + x^3 + x}{2(x^2+1)} \]
\[ = \dfrac{x^3 – 3x^2 + x – 1}{2(x^2+1)} \]

Đặt \(Q(x) = x^3 – 3x^2 + x – 1\). Ta nhận thấy \(Q(1) = 1 – 3 + 1 – 1 = -2\). Bất đẳng thức này vẫn chưa đúng.

Thử lại với bất đẳng thức quen thuộc hơn:

Ta biết rằng với \(x>0\), ta có bất đẳng thức:

\[ \dfrac{1}{x^2+1} \ge 1 – \dfrac{x}{2} \]

Khi nào dùng? Bất đẳng thức này có thể áp dụng khi ta muốn đánh giá \( \dfrac{1}{x^2+1} \) và dấu “=” có thể xảy ra ở một giá trị khác 1.

Chứng minh:

Xét hiệu:

\[ \dfrac{1}{x^2+1} – \left( 1 – \dfrac{x}{2} \right) \]
\[ = \dfrac{1}{x^2+1} – 1 + \dfrac{x}{2} \]
\[ = \dfrac{2 – 2(x^2+1) + x(x^2+1)}{2(x^2+1)} \]
\[ = \dfrac{2 – 2x^2 – 2 + x^3 + x}{2(x^2+1)} \]
\[ = \dfrac{x^3 – 2x^2 + x}{2(x^2+1)} \]
\[ = \dfrac{x(x^2 – 2x + 1)}{2(x^2+1)} \]
\[ = \dfrac{x(x-1)^2}{2(x^2+1)} \]

Vì \(x > 0\) và \((x-1)^2 \ge 0\), \(x^2+1 > 0\), nên \( \dfrac{x(x-1)^2}{2(x^2+1)} \ge 0 \).

Do đó, \( \dfrac{1}{x^2+1} \ge 1 – \dfrac{x}{2} \) với mọi \(x > 0\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x=1\).

Áp dụng bất đẳng thức phụ vào bài toán chính:

Áp dụng bất đẳng thức \( \dfrac{1}{x^2+1} \ge 1 – \dfrac{x}{2} \) cho \(a, b, c, d\), ta có:

\[ \dfrac{1}{a^2+1} \ge 1 – \dfrac{a}{2} \]
\[ \dfrac{1}{b^2+1} \ge 1 – \dfrac{b}{2} \]
\[ \dfrac{1}{c^2+1} \ge 1 – \dfrac{c}{2} \]
\[ \dfrac{1}{d^2+1} \ge 1 – \dfrac{d}{2} \]

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên:

\[ \dfrac{1}{a^2+1} + \dfrac{1}{b^2+1} + \dfrac{1}{c^2+1} + \dfrac{1}{d^2+1} \ge \left( 1 – \dfrac{a}{2} \right) + \left( 1 – \dfrac{b}{2} \right) + \left( 1 – \dfrac{c}{2} \right) + \left( 1 – \dfrac{d}{2} \right) \]
\[ \ge 4 – \dfrac{1}{2}(a+b+c+d) \]

Sử dụng điều kiện \(a+b+c+d=4\):

\[ \ge 4 – \dfrac{1}{2}(4) \]
\[ \ge 4 – 2 \]
\[ \ge 2 \]

Vậy, ta đã chứng minh được:

\[ \dfrac{1}{a^2+1} + \dfrac{1}{b^2+1} + \dfrac{1}{c^2+1} + \dfrac{1}{d^2+1} \geqslant 2 \]

Dấu “=” xảy ra khi nào?

Dấu “=” trong bất đẳng thức \( \dfrac{1}{x^2+1} \ge 1 – \dfrac{x}{2} \) xảy ra khi \(x=1\).

Do đó, dấu “=” trong bất đẳng thức chính xảy ra khi:

\[ a=1, b=1, c=1, d=1 \]

Thỏa mãn điều kiện \(a+b+c+d = 1+1+1+1 = 4\).

Tóm lại về hướng đi:

1. Quan sát điều kiện và dấu “=” của bất đẳng thức để dự đoán điểm rơi.

2. Tìm kiếm một bất đẳng thức phụ có dạng \( \dfrac{1}{x^2+1} \ge f(x) \) sao cho dấu “=” xảy ra tại điểm rơi đã dự đoán.

3. Chứng minh bất đẳng thức phụ này.

4. Áp dụng bất đẳng thức phụ cho từng biến và cộng vế theo vế.

5. Sử dụng điều kiện đề bài để thu được kết quả cuối cùng.

Bài học hôm nay dừng tại đây. Các em về nhà ôn tập và làm thêm các bài tập tương tự nhé!